Revisão. Um disco uniforme de massa e raio gira a um eixo de baixo atrito. Ele deve ser parado em por uma pastilha de freio que faz contato com o disco em una distância média de do eixo. O coeficiente de atrito cinético entre a pastilha e o disco é 0,500 . Um pistão em um cilindro de diâmetro comprime a pastilha de freio contra o disco. Encontre a pressão necessária para o fluido do freio no cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco que está girando e queremos pará-lo usando uma pastilha de freio. Sabemos a massa, o raio do disco, a velocidade de rotação inicial, o tempo para parar, a distância onde a pastilha toca o disco, o coeficiente de atrito e as dimensões do pistão do freio. Nosso objetivo é descobrir qual a pressão que o fluido do freio precisa ter no cilindro para conseguir parar o disco nesse tempo. Para isso, vamos precisar de conceitos de dinâmica rotacional, como momento de inércia, torque, e a relação entre força e pressão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de inércia do disco. Para um disco uniforme, o momento de inércia é dado por:
Onde:
  • (massa do disco)
  • (raio do disco)
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos converter a velocidade de rotação de revoluções por minuto (rev/min) para radianos por segundo (rad/s), porque as equações de dinâmica rotacional usam rad/s.
Sabemos que e . Então:

Passo 4

A velocidade angular final será zero rad/s, já que o disco vai parar.

Passo 5

O tempo necessário para parar é de .

Passo 6

Vamos calcular a aceleração angular necessária para parar o disco nesse tempo. Usamos a equação:
Rearranjando para encontrar :
O sinal negativo indica que a aceleração angular está no sentido oposto da rotação.

Passo 7

Sabemos que o torque total que atua para parar o disco está relacionado com a aceleração angular através da equação:
Substituindo os valores de e :
O torque negativo indica que está atuando no sentido de diminuir a rotação.

Passo 8

O torque também pode ser calculado pela força de atrito multiplicada pela distância média onde a força está aplicada:
Queremos encontrar , então:

Passo 9

A força de atrito é causada pelo contato da pastilha com o disco, e essa força está relacionada à pressão no cilindro através da área do pistão. A relação é:
Primeiro, vamos calcular a área do pistão, que é circular:
Onde o diâmetro . Então:

Passo 10

Agora, isolamos a pressão :
Entretanto, lembrando que a força de atrito está relacionada com o coeficiente de atrito e a força normal :
Mas como queremos a pressão, já incluímos a relação no cálculo anterior. Portanto, a pressão necessária é aproximadamente:

Resposta

A pressão necessária no fluido do freio no cilindro é de aproximadamente .

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