Revisão. Um disco uniforme de massa
e raio
gira a
um eixo de baixo atrito. Ele deve ser parado em
por uma pastilha de freio que faz contato com o disco em una distância média de
do eixo. O coeficiente de atrito cinético entre a pastilha e o disco é 0,500 . Um pistão em um cilindro de diâmetro
comprime a pastilha de freio contra o disco. Encontre a pressão necessária para o fluido do freio no cilindro.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco que está girando e queremos pará-lo usando uma pastilha de freio. Sabemos a massa, o raio do disco, a velocidade de rotação inicial, o tempo para parar, a distância onde a pastilha toca o disco, o coeficiente de atrito e as dimensões do pistão do freio. Nosso objetivo é descobrir qual a pressão que o fluido do freio precisa ter no cilindro para conseguir parar o disco nesse tempo. Para isso, vamos precisar de conceitos de dinâmica rotacional, como momento de inércia, torque, e a relação entre força e pressão.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento de inércia do disco. Para um disco uniforme, o momento de inércia
é dado por:
Onde:
-
(massa do disco) -
(raio do disco)
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos converter a velocidade de rotação de revoluções por minuto (rev/min) para radianos por segundo (rad/s), porque as equações de dinâmica rotacional usam rad/s.
Sabemos que
e
. Então:
Passo 4
A velocidade angular final
será zero rad/s, já que o disco vai parar.
Passo 5
O tempo necessário para parar é de
.
Passo 6
Vamos calcular a aceleração angular
necessária para parar o disco nesse tempo. Usamos a equação:
Rearranjando para encontrar
:
O sinal negativo indica que a aceleração angular está no sentido oposto da rotação.
Passo 7
Sabemos que o torque total
que atua para parar o disco está relacionado com a aceleração angular através da equação:
Substituindo os valores de
e
:
O torque negativo indica que está atuando no sentido de diminuir a rotação.
Passo 8
O torque também pode ser calculado pela força de atrito
multiplicada pela distância média
onde a força está aplicada:
Queremos encontrar
, então:
Passo 9
A força de atrito é causada pelo contato da pastilha com o disco, e essa força está relacionada à pressão
no cilindro através da área
do pistão. A relação é:
Primeiro, vamos calcular a área
do pistão, que é circular:
Onde o diâmetro
. Então:
Passo 10
Agora, isolamos a pressão
:
Entretanto, lembrando que a força de atrito está relacionada com o coeficiente de atrito
e a força normal
:
Mas como queremos a pressão, já incluímos a relação no cálculo anterior. Portanto, a pressão necessária é aproximadamente:
Resposta
A pressão necessária no fluido do freio no cilindro é de aproximadamente
.