Revisão. Uma placa de sinalização retangular, uniforme, fina, é pendurada verticalmente acima da porta de uma loja. Ela é articulada por dobradiças a uma haste horizontal fixa ao longo de sua borda superior. A massa da placa é
e sua dimensão vertical é
. Ela está balançando sem atrito, portanto, é um alvo tentador para as crianças armadas com bolas de neve. O deslocamento angular máximo da placa é
ambos os lados da vertical. No momento em que ela está na vertical e movendo-se para a esquerda, uma bola de neve de 400 g de massa, viajando horizontalmente com velocidade de
para a direita, bate perpendicularmente na sua extremidade inferior e fica grudada. Calcule a velocidade angular da placa imediatamente antes do impacto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma placa retangular pendurada que oscila sem atrito e queremos descobrir a velocidade angular dela no exato momento antes de ser atingida por uma bola de neve. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional, como momento de inércia e conservação de energia. Vamos precisar das massas, dimensões da placa, o ângulo máximo de oscilação e a velocidade da bola.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos:
- Massa da placa,
- Comprimento vertical da placa,
- Massa da bola de neve,
- Velocidade da bola,
- Ângulo máximo,
Passo 3
Vamos calcular o momento de inércia da placa em relação ao eixo de rotação (dobradiças). Como a placa é retangular e está girando em torno de uma das suas bordas, o momento de inércia é dado por:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos usar a conservação de energia para encontrar a velocidade angular da placa no ponto mais baixo (vertical). Na posição máxima (
), toda a energia é potencial gravitacional, e no ponto vertical, essa energia é convertida em energia cinética rotacional.
A energia potencial na altura máxima é:
Onde
é a altura que a placa desceu até a posição vertical. Podemos encontrar
usando:
Calculando
:
Agora, a energia potencial:
Essa energia se transforma em energia cinética rotacional:
Igualando
:
Resolvendo para
:
Resposta
A velocidade angular da placa imediatamente antes do impacto é aproximadamente
.