Sejam as quatro direções de uma bússola, norte, leste, sul e oeste, representadas por vetores unitários, e respectivamente. Verticalmente para cima e para baixo são representados como ûe da Vamos também identificar vetores unitários que estão a meio caminho dessas direções, tal como గe para nordeste. Classifique o módulo dos seguintes produtos vetoriais do maior para o menor. Se algum for igual em módulo ou for igual a zero, deixe isso claro na classificação. (a) (b) © (d) (e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um exercício que envolve vetores representando as direções de uma bússola: norte, leste, sul, oeste e meio-direções como nordeste. A missão é calcular os módulos (ou seja, os tamanhos) de alguns produtos vetoriais entre esses vetores e depois classificá-los do maior para o menor. Pra isso, vamos precisar saber como funciona o produto vetorial e como calcular o módulo dele.

Passo 2

Primeiro, lembra que o produto vetorial entre dois vetores, digamos A e B, é um vetor que é perpendicular a ambos. A magnitude desse produto é dada pela fórmula:
onde é o ângulo entre A e B. No nosso caso, como estamos lidando com vetores unitários (ou seja, com módulo 1), a fórmula simplifica para:
Então, o que precisamos fazer é identificar o ângulo entre cada par de vetores e calcular o seno desse ângulo para achar o módulo do produto vetorial.

Passo 3

Vamos analisar cada item:
a)
Aqui, estamos pegando o produto vetorial de um vetor com ele mesmo. O ângulo entre eles é , então:
Portanto,

Passo 4

b)
Primeiro, precisamos saber o ângulo entre oeste ( ) e nordeste ( ). Oeste é e nordeste é , então a diferença é .
Como estamos interessados no módulo:

Passo 5

c)
Assumindo que representa a vertical para cima, e nordeste está no plano horizontal, o ângulo entre eles é .
Então,

Passo 6

d)
Norte ( ) está em e noroeste ( ) está em . A diferença de ângulo é .
Novamente, considerando o módulo:

Passo 7

e)
Aqui, norte ( ) está em e leste ( ) em . A diferença é .
Então,

Resposta

Organizando os módulos dos produtos vetoriais do maior para o menor:
Observamos que os itens © e (e) têm módulos iguais a 1, os itens (b) e (d) têm módulos iguais a , e o item (a) é igual a zero.

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