Na nossa dedução fisica da contração do comprimento (sec. 2-4), nós admitimos que a dilatação do tempo fôsse dada. Deduza a dilatação do tempo, para os caminhos longitudinais da luz, de modo semelhante, supondo ao invés disso que a contração do comprimento é dada.
17. Mostre como os 4 resultados dos processos de medida física da secção 2-4 podem ser combinados para deduzir as equações de transformação de Lorentz da secção 2-2.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro, derivar a dilatação do tempo para um relógio de luz orientado na direção do movimento, supondo conhecida a contração do comprimento. Segundo, mostrar como os quatro resultados físicos da secção 2- 4 se combinam para obter as transformações de Lorentz da secção 2- 2. Vamos usar como dada a contração do comprimento
L = \frac{L_0}{\gamma},\quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}
e a invariância da velocidade da luz \text{(c)}, mais o conceito de simultaneidade relativa.

Passo 2

Considere um relógio de luz cujos espelhos estão alinhados na direção do movimento e têm distância própria L_0 no seu referencial. No referencial em que o conjunto se move à velocidade v, a distância entre espelhos é
L = \frac{L_0}{\gamma}.
A luz vai de um espelho ao outro e retorna. O tempo gasto na ida, medido no referencial fixo, é
\Delta t_1 = \frac{L}{c - v},
e na volta
\Delta t_2 = \frac{L}{c + v}.
Logo o período medido é
\Delta t = \Delta t_1 + \Delta t_2 = \frac{L}{c - v} + \frac{L}{c + v} = L\frac{(c + v)+(c - v)}{c^2 - v^2} = \frac{2Lc}{c^2 - v^2} = \frac{2L}{c}\frac{1}{1 - v^2/c^2}.
Substituindo L=L_0/\gamma e lembrando que \gamma^{-2}=1-v^2/c^2, obtém-se
\Delta t = \frac{2L_0}{c}\,\frac{1}{\gamma}\,\frac{1}{1 - v^2/c^2} = \frac{2L_0}{c}\,\gamma = \gamma\,\Delta t_0,
onde \Delta t_0=2L_0/c é o período no referencial do relógio. Este é exatamente o resultado da dilatação do tempo.

Passo 3

Os quatro processos de medida da secção 2- 4 e seus resultados são:
1. Relógio de luz transversal \Rightarrow dilatação do tempo \Delta t = \gamma\,\Delta t_0.
2. Relógio de luz longitudinal \Rightarrow mesmo resultado de dilatação obtido acima.
3. Medida de comprimento de um objeto em movimento \Rightarrow contração do comprimento L = L_0/\gamma.
4. Defasagem de sincronização de relógios separados por distância x' num referencial em movimento \Rightarrow simultaneidade relativa: relógios à frente atrasam v x'/c^2.

Passo 4

Para obter a transformação de coordenadas, considere um evento E que em S ocorre em (x,t). Em S' o mesmo evento tem coordenadas (x',t'). No instante t em S, a origem de S' está em x_{\rm orig}=vt, logo a distância E \toorigem em S é \Delta x = x - vt. Essa é a medida contraída de um comprimento próprio \Delta x', logo
\Delta x = \frac{\Delta x'}{\gamma} \quad\Longrightarrow\quad x' = \gamma\,(x - vt).

Passo 5

Para o tempo, considere a leitura de um relógio em S' localizado na posição de E. A dilatação pura daria \Delta t'_{\rm dil}=\gamma\,t. Mas esse relógio está deslocado de \Delta x' da origem e, por simultaneidade relativa, atrasa-se em
\Delta t_{\rm simult} = \frac{v\,\Delta x'}{c^2}.
Portanto o tempo líquido é
t' = \Delta t'_{\rm dil}-\Delta t_{\rm simult} = \gamma\,t \;-\;\frac{v}{c^2}\,x' = \gamma\,t \;-\;\frac{v}{c^2}\,\bigl[\gamma\,(x - vt)\bigr] = \gamma\,(t - v\,x/c^2).

Passo 6

Reunindo os resultados dos Passos 4 e 5, obtemos as equações de transformação de Lorentz entre S e S':
x' = \gamma\,(x - vt), \qquad t' = \gamma\bigl(t - \tfrac{v\,x}{c^2}\bigr).

Resposta

x' = \gamma\,(x - vt), \qquad t' = \gamma\bigl(t - \tfrac{v\,x}{c^2}\bigr).

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