Na nossa dedução fisica da contração do comprimento (sec. 2-4), nós admitimos que a dilatação do tempo fôsse dada. Deduza a dilatação do tempo, para os caminhos longitudinais da luz, de modo semelhante, supondo ao invés disso que a contração do comprimento é dada.
17. Mostre como os 4 resultados dos processos de medida física da secção 2-4 podem ser combinados para deduzir as equações de transformação de Lorentz da secção 2-2.
17. Mostre como os 4 resultados dos processos de medida física da secção 2-4 podem ser combinados para deduzir as equações de transformação de Lorentz da secção 2-2.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro, derivar a dilatação do tempo para um relógio de luz orientado na direção do movimento, supondo conhecida a contração do comprimento. Segundo, mostrar como os quatro resultados físicos da secção
-
se combinam para obter as transformações de Lorentz da secção
-
. Vamos usar como dada a contração do comprimento
e a invariância da velocidade da luz
, mais o conceito de simultaneidade relativa.
Passo 2
Considere um relógio de luz cujos espelhos estão alinhados na direção do movimento e têm distância própria
no seu referencial. No referencial em que o conjunto se move à velocidade
, a distância entre espelhos é
A luz vai de um espelho ao outro e retorna. O tempo gasto na ida, medido no referencial fixo, é
e na volta
Logo o período medido é
Substituindo
e lembrando que
, obtém-se
onde
é o período no referencial do relógio. Este é exatamente o resultado da dilatação do tempo.
Passo 3
Os quatro processos de medida da secção
-
e seus resultados são:
. Relógio de luz transversal
dilatação do tempo
.
. Relógio de luz longitudinal
mesmo resultado de dilatação obtido acima.
. Medida de comprimento de um objeto em movimento
contração do comprimento
.
. Defasagem de sincronização de relógios separados por distância
num referencial em movimento
simultaneidade relativa: relógios à frente atrasam
.
Passo 4
Para obter a transformação de coordenadas, considere um evento
que em
ocorre em
. Em
o mesmo evento tem coordenadas
. No instante
em
, a origem de
está em
, logo a distância
origem em
é
. Essa é a medida contraída de um comprimento próprio
, logo
Passo 5
Para o tempo, considere a leitura de um relógio em
localizado na posição de
. A dilatação pura daria
. Mas esse relógio está deslocado de
da origem e, por simultaneidade relativa, atrasa-se em
Portanto o tempo líquido é
Passo 6
Reunindo os resultados dos Passos
e
, obtemos as equações de transformação de Lorentz entre
e
: