1. O comprimento de uma nave espacial mede exatamente a metade do seu comprimento próprio. (a) Qual é a velocidade da nave espacial relativa ao sistema do observador? (b) Qual é a dilatação da unidade de tempo da nave espacial?

Passo 1

O enunciado afirma que o comprimento medido da nave no referencial do observador, L, é exatamente metade do seu comprimento próprio, L_{0}. Para resolver, vamos usar a fórmula da contração de comprimentos da relatividade restrita e depois a relação de dilatação de tempo.

Passo 2

Pela contração de comprimentos, temos
L = L_{0}\,\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}\,.
Como L = \tfrac{1}{2}L_{0}, basta igualar
\frac{1}{2}L_{0} = L_{0}\,\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}
e simplificar L_{0}\neq 0.

Passo 3

Dividindo por L_{0} e elevando ao quadrado, obtemos
\frac{1}{4} = 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{v^{2}}{c^{2}} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
Logo
v = c\,\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,c \approx 0,866\,c.

Passo 4

Para a dilatação do tempo, usamos
\Delta t = \gamma\,\Delta \tau \quad\text{com}\quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Já vimos que 1/\sqrt{1-\!v^{2}/c^{2}} = 2. Portanto, um intervalo de tempo próprio \Delta \tau na nave aparece para o observador como
\Delta t = 2\,\Delta \tau,
ou seja, o tempo dilata-se por um fator 2.

Resposta

(a) v = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\,c \approx 0{,}866\,c.
(b) a dilatação temporal é \gamma = 2, isto é, \Delta t = 2\,\Delta \tau.

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