*14.92 a) Com que velocidade uma esfera de latăo com raio de 2,50 mm cai em um tanque de glicerina no instante em que sua aceleração é a metade da aceleração de um corpo em queda livre? A viscosidade da glicerina é igual a 8.30 poises. b) Qual é a velocidade terminal da esfera?

Passo 1

O enunciado diz que uma esfera de latão de raio cai em glicerina de viscosidade ( P ) e pede (a) a velocidade no instante em que sua aceleração é metade de e (b) sua velocidade terminal. Vamos usar o conteúdo de mecânica dos fluidos: força peso, empuxo e força de arrasto de Stokes

Passo 2

Aplicamos a segunda lei de Newton ao movimento vertical descendente (sentido positivo para baixo):
m g ;-; V,rhoell,g ;-; 6pieta r,v ;=; m,a,
onde m=Vrhos é a massa da esfera, V=tfrac43pi r^3 é seu volume, rhos e rhoell são as densidades do latão e da glicerina, respectivamente, e a é a aceleração.

Passo 3

Para o instante em que a = tfracg2, reescrevemos
Vrhos,g - Vrhoell,g - 6pieta r,v = Vrhos,g2
e isolamos v:
Vl(rhos - rhoellr)g - V,rhos,g2 =6pieta r,v Longrightarrow v = V,gl(rhos/2 - rhoellr)6pieta r
Como V=tfrac43pi r^3, fica
boxedv = 2,r^2,gl(tfracrhos2-rhoellr)9,eta

Passo 4

Na velocidade terminal vt, a aceleração é zero ( a=0), logo
Vrhos,g - Vrhoell,g - 6pieta r,vt = 0 Longrightarrow vt = V,gl(rhos - rhoellr)6pieta r = 2,r^2,gl(rhos-rhoellr)9,eta

Passo 5

Adotando valores típicos:
rhos=8,50 g/cm^3, rhoell=1,26 g/cm^3,
r=2,50 mm=0,25 cm, g=980 cm/s^2, eta=8,30 g/(cmcdot s).
Para (a):
v = 2,(0,25)^2,(980)l(8,50/2 -1,26r)9,(8,30) approx 4,90 cm/s =0,0490 m/s
Para (b):
vt = 2,(0,25)^2,(980),(8,50 -1,26)9,(8,30) approx 11,9 cm/s =0,119 m/s

Resposta

(a) vapprox0,0490 m/s (para baixo)
(b) vtapprox0,119 m/s (para baixo)

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