19.12 Velocidade de propagação da onda versus velocidade de uma partícula. a) Mostre que a Equação 19.3 pode ser escrita na forma
y(x, t)=-A sen[2 pilambda(x-v t)]
b) Use y(x, t) para encontrar uma expressão para a velocidade transversal vy de uma partícula da corda onde a onda se propaga.
c) Calcule a velocidade máxima de uma partícula da corda. Em que circunstâncias esta velocidade pode ser igual à velocidade v de propagação da onda? Quando ela pode ser maior do que v ? E menor do que v ?

Passo 1

O enunciado trata de uma onda transversal de amplitude A, comprimento de onda lambda e velocidade de propagação v. Queremos:
  • (a) reescrever a forma padrão da onda na expressão y(x,t)=-A,sen!l[tfrac2pilambda(x-vt)r],
  • (b) encontrar a velocidade transversal de uma partícula da corda vy=partial y/partial t,
  • (c) calcular seu valor máximo e comparar com v.
    Vamos usar as definições de número de onda
k=2pilambda,
e a relação entre frequência angular omega e v:
omega = k,v

Passo 2

Começamos da forma geral
y(x,t)=Asen(omega t - kx)
que é equivalente a
y(x,t)=-Asen(kx-omega t)
Substituindo k=2pi/lambda e omega = kv temos
y(x,t)=-Asen!l[k,(x-vt)r] =-Asen!l[tfrac2pilambda(x-vt)r],
o que prova a parte (a).

Passo 3

Para achar a velocidade transversal de uma partícula da corda, calculamos
vy=partial ypartial t =-!Acos!l[tfrac2pilambda(x-vt)r]cdotpartialpartial tl(tfrac2pilambda(x-vt)r)
Como partialt(x-vt)=-v, obtemos
vy =;-!Acos!l[tfrac2pilambda(x-vt)r]cdotl(tfrac2pilambda(-v)r) =2pi,v,Alambda, cos!l[tfrac2pilambda(x-vt)r],
resolvendo a parte (b).

Passo 4

A velocidade transversal é máxima quando o cosseno vale pm1. Logo
l|vy,maxr| =2pi,v,Alambda
Para comparar com v:
  • Se tfrac2pi Alambda=1, então ;|vy,max|=v.
  • Se tfrac2pi Alambda>1, então ;|vy,max|>v.
  • Se tfrac2pi Alambda<1, então ;|vy,max|<v.
    Em ondas de pequena amplitude ( Alllambda) normalmente ;|vy,max|ll v.

Resposta

(a) y(x,t)=-A,sen!l[tfrac2pilambda(x-vt)r]
(b) vy=2pi,v,Alambda,cos!l[tfrac2pilambda(x-vt)r]
(c) |vy,max|=2pi,v,Alambda. Igual a v se A=lambda/(2pi), maior que v se A>lambda/(2pi) e menor se A<lambda/(2pi).

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