19.12 Velocidade de propagação da onda versus velocidade de uma partícula. a) Mostre que a Equação 19.3 pode ser escrita na forma
b) Use para encontrar uma expressão para a velocidade transversal de uma partícula da corda onde a onda se propaga.
c) Calcule a velocidade máxima de uma partícula da corda. Em que circunstâncias esta velocidade pode ser igual à velocidade de propagação da onda? Quando ela pode ser maior do que ? E menor do que ?
Passo 1
O enunciado trata de uma onda transversal de amplitude , comprimento de onda e velocidade de propagação . Queremos:
(a) reescrever a forma padrão da onda na expressão
(b) encontrar a velocidade transversal de uma partícula da corda ,
(c) calcular seu valor máximo e comparar com .
Vamos usar as definições de número de onda
e a relação entre frequência angular e :
Passo 2
Começamos da forma geral
que é equivalente a
Substituindo e temos
o que prova a parte (a).
Passo 3
Para achar a velocidade transversal de uma partícula da corda, calculamos
Como , obtemos
resolvendo a parte (b).
Passo 4
A velocidade transversal é máxima quando o cosseno vale . Logo
Para comparar com v:
Se tfrac2pi Alambda=1, então ;|vy,max|=v.
Se tfrac2pi Alambda>1, então ;|vy,max|>v.
Se tfrac2pi Alambda<1, então ;|vy,max|<v.
Em ondas de pequena amplitude (Alllambda) normalmente ;|vy,max|ll v.
Resposta
(a) y(x,t)=-A,sen!l[tfrac2pilambda(x-vt)r]
(b) vy=2pi,v,Alambda,cos!l[tfrac2pilambda(x-vt)r]
(c) |vy,max|=2pi,v,Alambda. Igual a v se A=lambda/(2pi), maior que v se A>lambda/(2pi) e menor se A<lambda/(2pi).
Física - Young and Freedman - Vol 2 - 10ª Edição - Capítulo 19.Exercícios - Ex. 19.12