Um físico apresentou uma teoria reformulando alguns conceitos nas leis da Mecânica Newtoniana. Nesta nova teoria, a expressão da intensidade da força gravitacional ( F ) entre duas partículas de massas m_{1} e m_{2}, separadas por uma distância r, é dada pela relação:
F=\frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}\left(1+v^{2}+r \cdot a\right),onde v é a velocidade linear relativa e a é a aceleração relativa entre os 2 corpos envolvidos. Verifique e justifique se as afirmações a seguir são verdadeiras: (Dica: Aplicação dos teoremas de Bridgman e Buckinghan - verifique a dimensionalidade e homogeneidade da expressão nas situações propostas e justifíque sua resposta.)
A expressão está dimensionalmente correta;

Passo 1

O enunciado dá a lei proposta
F=\frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}\left(1+v^{2}+r\cdot a\right),
onde m_{1},m_{2} são massas, r é uma distância, v é uma velocidade relativa e a é uma aceleração relativa. A pergunta pede para verificar e justificar se a afirmação “A expressão está dimensionalmente correta” é verdadeira, usando análise dimensional (teorema de Bridgman / teorema de Buckingham). Não há outras informações numéricas nem constantes físicas explícitas na expressão.

Passo 2

Definimos as dimensões fundamentais (notação padrão): massa \,M, comprimento \,L e tempo \,T. As dimensões das grandezas envolvidas são:
[F]=M\,L\,T^{-2},\qquad [m_{1}]=[m_{2}]=M,\qquad [r]=L,
[v]=L\,T^{-1},\qquad [a]=L\,T^{-2}.
Aqui eu só estou lembrando do que cada símbolo representa em termos de M,L,T — é a base para aplicar os teoremas de Bridgman/Buckingham.

Passo 3

Calculo a dimensão do fator fora do parêntese, ou seja \dfrac{m_1 m_2}{r^2}:
\left[\frac{m_1 m_2}{r^2}\right]=\frac{M\cdot M}{L^{2}}=M^{2}L^{-2}.
Isso é importante: esse fator tem dimensão M^{2}L^{-2}.

Passo 4

Para que o produto \dfrac{m_1 m_2}{r^2}\times(\text{parênteses})ê tenha dimensão de força [F]=M L T^{-2}, a dimensão do conteúdo dos parênteses deve ser
[\text{parênteses}]=\frac{[F]}{\left[\dfrac{m_1 m_2}{r^2}\right]}=\frac{M L T^{-2}}{M^{2}L^{-2}}=M^{-1}L^{3}T^{-2}.ê
Ou seja, o que estiver dentro do parêntese precisa ter dimensão M^{-1}L^{3}T^{-2} para tornar a expressão global com dimensão de força.

Passo 5

Agora analiso a dimensão de cada termo dentro do parêntese na expressão dada:
  • O termo 1 é adimensional: [1]=1\quad(\text{sem dimensão}).ã
  • O termo v^{2} tem dimensão [v^{2}]=[v]^{2}=(L\,T^{-1})^{2}=L^{2}T^{-2}.
  • O termo r\cdot a tem dimensão [r\cdot a]=[r]\,[a]=L\cdot(L\,T^{-2})=L^{2}T^{-2}.
Portanto v^{2} e r a têm a mesma dimensão L^{2}T^{-2}, enquanto 1 é adimensional.

Passo 6

Comparando as dimensões:
  • Pelo passo 4, o parêntese inteiro deveria ter dimensão M^{-1}L^{3}T^{-2}.
  • Pelo passo 5, os termos atuais dentro do parêntese são de dimensões distintas entre si: um termo adimensional ( 1) e termos com dimensão L^{2}T^{-2} ( v^{2} e r a). Mesmo v^{2} e r a não têm a dimensão necessária M^{-1}L^{3}T^{-2}.
    Conclusão: os termos somados dentro do parêntese não têm a mesma dimensão entre si e tampouco têm a dimensão exigida para que o produto com \dfrac{m_1 m_2}{r^2} resulte numa força. Segundo o princípio da homogeneidade dimensional (Bridgman), só podemos somar quantidades que têm a mesma dimensão; aqui isso não ocorre. Portanto a expressão não é dimensionalmente homogênea e está incorreta dimensionalmente.

Passo 7

Comentário didático usando Buckingham/Bridgman e como consertar a fórmula (opções práticas para a prova):
  • O teorema de Buckingham diz que as leis físicas devem poder ser escritas em termos de grupos adimensionais; a forma apresentada viola isso (há soma de termos com dimensões diferentes). Bridgman exige homogeneidade dimensional (cada termo de uma soma precisa ter a mesma dimensão).
  • Uma forma simples e física de corrigir é introduzir a constante gravitacional G como fator (como em Newton): \displaystyle F=\frac{G\,m_1 m_2}{r^2}\cdot(\text{parênteses adimensional})ê. A dimensão de G é [G]=M^{-1}L^{3}T^{-2},então \dfrac{G m_1 m_2}{r^2} já tem dimensão de força.
  • Depois, para que os termos dentro do parêntese sejam adimensionais, devemos normalizá-los por uma quantidade com as mesmas dimensões. Um jeito natural (exemplo usado na relatividade) é dividir v^{2} e r a por c^{2}, onde c é uma velocidade (com dimensão L\,T^{-1}). Assim uma forma dimensionamente consistente seria, por exemplo, F=\frac{G\,m_1 m_2}{r^2}\left(1+\frac{v^{2}}{c^{2}}+\frac{r a}{c^{2}}\right),porque \dfrac{v^{2}}{c^{2}} e \dfrac{r a}{c^{2}} são adimensionais e somáveis com 1.
  • Alternativamente, em vez de G ou c, poder-se-ia introduzir constantes \alpha,\beta com dimensões apropriadas para tornar cada termo homogêneo; mas algum coeficiente com dimensão de M^{-1}L^{3}T^{-2} deve aparecer multiplicando o primeiro fator (é exatamente o papel de G).

Resposta

Falso.

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