Um físico apresentou uma teoria reformulando alguns conceitos nas leis da Mecânica Newtoniana. Nesta nova teoria, a expressão da intensidade da força gravitacional (
) entre duas partículas de massas
e
, separadas por uma distância
, é dada pela relação:
onde
é a velocidade linear relativa e
é a aceleração relativa entre os 2 corpos envolvidos. Verifique e justifique se as afirmações a seguir são verdadeiras: (Dica: Aplicação dos teoremas de Bridgman e Buckinghan - verifique a dimensionalidade e homogeneidade da expressão nas situações propostas e justifíque sua resposta.)
A expressão está dimensionalmente correta;
Passo 1
O enunciado dá a lei proposta
onde
são massas,
é uma distância,
é uma velocidade relativa e
é uma aceleração relativa. A pergunta pede para verificar e justificar se a afirmação “A expressão está dimensionalmente correta” é verdadeira, usando análise dimensional (teorema de Bridgman / teorema de Buckingham). Não há outras informações numéricas nem constantes físicas explícitas na expressão.
Passo 2
Definimos as dimensões fundamentais (notação padrão): massa
, comprimento
e tempo
. As dimensões das grandezas envolvidas são:
Aqui eu só estou lembrando do que cada símbolo representa em termos de
— é a base para aplicar os teoremas de Bridgman/Buckingham.
Passo 3
Calculo a dimensão do fator fora do parêntese, ou seja
:
Isso é importante: esse fator tem dimensão
.
Passo 4
Para que o produto
tenha dimensão de força
, a dimensão do conteúdo dos parênteses deve ser
Ou seja, o que estiver dentro do parêntese precisa ter dimensão
para tornar a expressão global com dimensão de força.
Passo 5
Agora analiso a dimensão de cada termo dentro do parêntese na expressão dada:
- O termo
é adimensional: - O termo
tem dimensão - O termo
tem dimensão
Portanto
e
têm a mesma dimensão
, enquanto
é adimensional.
Passo 6
Comparando as dimensões:
- Pelo passo 4, o parêntese inteiro deveria ter dimensão
. - Pelo passo 5, os termos atuais dentro do parêntese são de dimensões distintas entre si: um termo adimensional (
) e termos com dimensão ( e ). Mesmo e não têm a dimensão necessária .
Conclusão: os termos somados dentro do parêntese não têm a mesma dimensão entre si e tampouco têm a dimensão exigida para que o produto comresulte numa força. Segundo o princípio da homogeneidade dimensional (Bridgman), só podemos somar quantidades que têm a mesma dimensão; aqui isso não ocorre. Portanto a expressão não é dimensionalmente homogênea e está incorreta dimensionalmente.
Passo 7
Comentário didático usando Buckingham/Bridgman e como consertar a fórmula (opções práticas para a prova):
- O teorema de Buckingham diz que as leis físicas devem poder ser escritas em termos de grupos adimensionais; a forma apresentada viola isso (há soma de termos com dimensões diferentes). Bridgman exige homogeneidade dimensional (cada termo de uma soma precisa ter a mesma dimensão).
- Uma forma simples e física de corrigir é introduzir a constante gravitacional
como fator (como em Newton): . A dimensão de é então já tem dimensão de força. - Depois, para que os termos dentro do parêntese sejam adimensionais, devemos normalizá-los por uma quantidade com as mesmas dimensões. Um jeito natural (exemplo usado na relatividade) é dividir
e por , onde é uma velocidade (com dimensão ). Assim uma forma dimensionamente consistente seria, por exemplo, porque e são adimensionais e somáveis com . - Alternativamente, em vez de
ou , poder-se-ia introduzir constantes com dimensões apropriadas para tornar cada termo homogêneo; mas algum coeficiente com dimensão de deve aparecer multiplicando o primeiro fator (é exatamente o papel de ).
Resposta
Falso.