Um corpo move-se ao longo do eixo X, segundo a lei x(t)=2 t^{3}+5 t^{2}+5, onde x é dado em metros t em segundos. Encontre:
(a) A velocidade e a aceleração em um instante de tempo t qualquer;
(b) A posição, a velocidade e a aceleração para t=2 s e t=3 s;
(c) A velocidade média e a aceleração média entre t=2 s e t=3 s.

Passo 1

O enunciado dá a lei do movimento ao longo do eixo X:
x(t)=2\,t^{3}+5\,t^{2}+5,
onde x está em metros e t em segundos. Pede-se:
(a) a velocidade e a aceleração em um instante genérico t;
(b) a posição, a velocidade e a aceleração para t=2\\ \text{s} e t=3\\ \text{s};
(c) a velocidade média e a aceleração média entre t=2\\ \text{s} e t=3\\ \text{s}.

Passo 2

O que é velocidade instantânea e como achá-la (mini-aula):
  • Velocidade instantânea v(t) é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Em cálculo isso é a derivada de x(t) em relação a t. Escrevemos
v(t)=\frac{dx}{dt}=x'(t).
  • Regra básica que usamos (regra do poder / power rule): para t^{n},
\frac{d}{dt}\big(t^{n}\big)=n\,t^{n-1}.
  • Aplicando a derivada termo a termo (a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e constantes viram zero).
Agora derivamos x(t):
x(t)=2\,t^{3}+5\,t^{2}+5.
Derivando termo a termo:
  • \dfrac{d}{dt}(2\,t^{3})=2\cdot 3\,t^{2}=6\,t^{2}.
  • \dfrac{d}{dt}(5\,t^{2})=5\cdot 2\,t=10\,t.
  • \dfrac{d}{dt}(5)=0.
Portanto, a velocidade instantânea é
v(t)=6\,t^{2}+10\,t.

Passo 3

O que é aceleração instantânea e como achá-la (mini-aula):
  • Aceleração instantânea a(t) é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Ou seja, é a derivada de v(t) ou a segunda derivada de x(t):
a(t)=\frac{dv}{dt}=v'(t)=x''(t).
  • Aplicamos novamente a regra do poder para cada termo de v(t).
Derivando v(t)=6\,t^{2}+10\,t:
  • \dfrac{d}{dt}(6\,t^{2})=6\cdot 2\,t=12\,t.
  • \dfrac{d}{dt}(10\,t)=10.
    Logo
a(t)=12\,t+10.

Passo 4

Cálculo das posições para t=2\\ \text{s} e t=3\\ \text{s} (mostrando as contas):
  • Para t=2:
x(2)=2\cdot 2^{3}+5\cdot 2^{2}+5=2\cdot 8+5\cdot 4+5=16+20+5=41\\ (\text{m}).
  • Para t=3:
x(3)=2\cdot 3^{3}+5\cdot 3^{2}+5=2\cdot 27+5\cdot 9+5=54+45+5=104\\ (\text{m}).

Passo 5

Cálculo das velocidades para t=2\\ \text{s} e t=3\\ \text{s} (mostrando as contas):
Usamos v(t)=6\,t^{2}+10\,t.
  • Para t=2:
v(2)=6\cdot 2^{2}+10\cdot 2=6\cdot 4+20=24+20=44\\ (\text{m/s}).
  • Para t=3:
v(3)=6\cdot 3^{2}+10\cdot 3=6\cdot 9+30=54+30=84\\ (\text{m/s}).

Passo 6

Cálculo das acelerações para t=2\\ \text{s} e t=3\\ \text{s} (mostrando as contas):
Usamos a(t)=12\,t+10.
  • Para t=2:
a(2)=12\cdot 2+10=24+10=34\\ (\text{m/s}^{2}).
  • Para t=3:
a(3)=12\cdot 3+10=36+10=46\\ (\text{m/s}^{2}).

Passo 7

Velocidade média entre t=2 e t=3 (mini-aula e contas):
  • Velocidade média \bar{v} num intervalo [t_{1},t_{2}] é a variação da posição sobre a variação do tempo:
\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.
Aqui t_{1}=2, t_{2}=3. Usando x(3)=104 e x(2)=41:
\bar{v}=\frac{104-41}{3-2}=\frac{63}{1}=63\\ (\text{m/s}).

Passo 8

Aceleração média entre t=2 e t=3 (mini-aula e contas):
  • Aceleração média \bar{a} num intervalo é a variação da velocidade sobre a variação do tempo:
\bar{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v(t_{2})-v(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.
Aqui v(3)=84 e v(2)=44:
\bar{a}=\frac{84-44}{3-2}=\frac{40}{1}=40\\ (\text{m/s}^{2}).

Resposta

(a) v(t)=6\,t^{2}+10\,t,\quad a(t)=12\,t+10.
(b) Para t=2\\ \text{s}: x(2)=41\\ \text{m},\; v(2)=44\\ \text{m/s},\; a(2)=34\\ \text{m/s}^{2}. Para t=3\\ \text{s}: x(3)=104\\ \text{m},\; v(3)=84\\ \text{m/s},\; a(3)=46\\ \text{m/s}^{2}.
(c) \bar{v}=63\\ \text{m/s},\quad \bar{a}=40\\ \text{m/s}^{2}.

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