Um corpo move-se ao longo do eixo
, segundo a lei
, onde
é dado em metros
em segundos. Encontre:
(a) A velocidade e a aceleração em um instante de tempo
qualquer;
(b) A posição, a velocidade e a aceleração para
e
;
(c) A velocidade média e a aceleração média entre
e
.
(a) A velocidade e a aceleração em um instante de tempo
(b) A posição, a velocidade e a aceleração para
(c) A velocidade média e a aceleração média entre
Passo 1
O enunciado dá a lei do movimento ao longo do eixo
:
onde
está em metros e
em segundos. Pede-se:
(a) a velocidade e a aceleração em um instante genérico ;
(b) a posição, a velocidade e a aceleração para e
;
(c) a velocidade média e a aceleração média entre e
.
(a) a velocidade e a aceleração em um instante genérico
(b) a posição, a velocidade e a aceleração para
(c) a velocidade média e a aceleração média entre
Passo 2
O que é velocidade instantânea e como achá-la (mini-aula):
- Velocidade instantânea
é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Em cálculo isso é a derivada de em relação a . Escrevemos
- Regra básica que usamos (regra do poder / power rule): para
,
- Aplicando a derivada termo a termo (a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e constantes viram zero).
Agora derivamos
:
Derivando termo a termo:
-
. -
. -
.
Portanto, a velocidade instantânea é
Passo 3
O que é aceleração instantânea e como achá-la (mini-aula):
- Aceleração instantânea
é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Ou seja, é a derivada de ou a segunda derivada de :
- Aplicamos novamente a regra do poder para cada termo de
.
Derivando
:
-
. -
.
Logo
Passo 4
Cálculo das posições para
e
(mostrando as contas):
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Cálculo das velocidades para
e
(mostrando as contas):
Usamos .
Usamos
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Cálculo das acelerações para
e
(mostrando as contas):
Usamos .
Usamos
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Velocidade média entre
e
(mini-aula e contas):
- Velocidade média
num intervalo é a variação da posição sobre a variação do tempo:
Aqui
,
. Usando
e
:
Passo 8
Aceleração média entre
e
(mini-aula e contas):
- Aceleração média
num intervalo é a variação da velocidade sobre a variação do tempo:
Aqui
e
:
Resposta
(a)
.
(b) Para :
. Para
:
.
(c) .
(b) Para
(c)