Uma fita de carga no plano x z \operatorname{com} \rho_{S}=10,0 n C / m^{2} existe na faixa -2,00 \leq x \leq 2,00 m. Determine a intensidade de campo elétrico no ponto ( 0,00 \mathrm{~m} ; 3,00 \mathrm{~m} ; 10,0 \mathrm{~m} ).
Valor: 2,5 pontos

Passo 1

O enunciado dá uma fita de carga no plano xz (isto é, em y=0) com densidade de carga superficial \rho_{S}=10,0\text{ nC/m}^2, estendida de x=-2{,}00 até x=2{,}00 e infinita em z. Pede-se a intensidade do campo elétrico no ponto (0{,}00;\,3{,}00;\,10{,}0). O conteúdo aqui é eletrostática de distribuição contínua: vamos decompor a fita em fios lineares infinitos e integrar a contribuição de cada um para obter o campo em y=3{,}00.

Passo 2

Considere um elemento de tirinha em x=x' de largura dx'. Essa tirinha tem carga linear
d\lambda = \rho_{S}\,dx'
e é infinita em z, gerando em um ponto a distância perpendicular
R = \sqrt{(x')^2 + y^2},
com y=3{,}00. O módulo do campo produzido por um fio infinito é
dE = \frac{d\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,R}.
Como o ponto está em x=0, as componentes horizontais se cancelam por simetria, restando apenas a componente em y, dada por
dE_{y} = dE\,\frac{y}{R} = \frac{\rho_{S}\,dx'}{2\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{y}{\bigl((x')^{2}+y^{2}\bigr)}.
Integrando de x'=-a até x'=a com a=2{,}00:
E_{y} = \int_{-a}^{a}\frac{\rho_{S}}{2\pi\varepsilon_{0}} \;\frac{y}{(x')^{2}+y^{2}}\,dx' = \frac{\rho_{S}}{2\pi\varepsilon_{0}}\;y\;\frac{2}{y}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{a}{y}\bigr) = \frac{\rho_{S}}{\pi\varepsilon_{0}}\;\arctan\!\bigl(\tfrac{a}{y}\bigr).

Passo 3

Substituindo valores numéricos:
\rho_{S} = 10{,}0\times10^{-9}\,\mathrm{C/m^2},\quad \varepsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{C^2/(N\,m^2)},\quad a=2{,}00,\;y=3{,}00.
Logo
E_{y} = \frac{10{,}0\times10^{-9}}{\pi\,(8{,}85\times10^{-12})} \;\arctan\!\bigl(\tfrac{2{,}00}{3{,}00}\bigr) \approx 211{,}4\;\mathrm{V/m}.

Resposta

A intensidade do campo elétrico no ponto dado é
\boxed{E = 2{,}11\times10^{2}\,\mathrm{V/m}\quad\text{na direção }+y.}çã

Exercícios relacionados