Uma lâmina carregada com \rho_{S 1}=100,0 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2} ocupa o plano z=-3,00 \mathrm{~m}, e uma segunda lâmina carregada com \rho_{S 2}=-100,0 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2} ocupa o plano z=+3,00 \mathrm{~m}. Determine a intensidade de campo elétrico na origem,

Passo 1

O enunciado dá duas lâminas infinitas paralelas com densidades de carga de superfície \rho_{S1}=100{,}0\;\mathrm{nC}/\mathrm{m}^2 no plano z=-3{,}00\;\mathrm m e \rho_{S2}=-100{,}0\;\mathrm{nC}/\mathrm{m}^2 no plano z=+3{,}00\;\mathrm m. Pede-se o campo elétrico resultante em z=0. O conteúdo necessário é o campo de uma lâmina infinita carregada, dado por
E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}
com direção normal à lâmina: sai da lâmina se \sigma>0 e entra se \sigma<0.

Passo 2

Calcular o módulo e a direção do campo devido à lâmina em z=-3. Aqui \sigma_1=\rho_{S1}=100{,}0\times10^{-9}\;\mathrm{C}/\mathrm{m}^2. No ponto z=0 estamos acima da lâmina, e como \sigma_1>0, o campo aponta para +\hat z. O módulo é
E_1 = \frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0} = \frac{100{,}0\times10^{-9}}{2\cdot8{,}85\times10^{-12}} \approx 5,64\times10^{3}\;\mathrm{N/C}.

Passo 3

Calcular o módulo e a direção do campo devido à lâmina em z=+3. Aqui \sigma_2=\rho_{S2}=-100{,}0\times10^{-9}\;\mathrm{C}/\mathrm{m}^2. No ponto z=0 estamos abaixo da lâmina, e como \sigma_2<0, o campo aponta também para +\hat z. O módulo é
E_2 = \frac{|\sigma_2|}{2\varepsilon_0} = \frac{100{,}0\times10^{-9}}{2\cdot8{,}85\times10^{-12}} \approx 5,64\times10^{3}\;\mathrm{N/C}.

Passo 4

Somando vetorialmente os dois campos, ambos de módulo 5{,}64\times10^{3}\;\mathrm{N/C} e direção +\hat z:
E_{\text{total}} = E_1\,+E_2 = 5{,}64\times10^{3} + 5{,}64\times10^{3} = 1{,}13\times10^{4}\;\mathrm{N/C}\;\hat z.

Resposta

\mathbf{E}(0,0,0) = 1{,}13\times10^{4}\;\mathrm{N/C}\;\hat z.

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