A viscosidade de um fluido deve ser medida por um viscosímetro construído com dois cilindros concêntricos de 40 cm de comprimento. O diâmetro externo do cilindro interior é de 12 cm e a folga entre os dois cilindros é de 0,15 \mathrm{~cm}. O cilindro interno é girado a 300 rpm e o torque medido foi de 1,8 \mathrm{~N} . \mathrm{m}. Determine uma expressão para cálculo da viscosidade usando esse tipo de viscosímetro e calcule a viscosidade do fluido para as condições dadas.

Passo 1

O enunciado descreve um viscosímetro de cilindros concêntricos com comprimento L = 40\:\text{cm}, raio interno do fluido a = 6\:\text{cm} (diâmetro de 12\:\text{cm}), folga \delta = 0,15\:\text{cm} (logo b = a + \delta = 6{,}15\:\text{cm}), roda interna girando a 300\:\text{rpm} e torque medido T = 1{,}8\:\mathrm{N\cdot m}. Queremos uma expressão para a viscosidade dinâmica \mu e seu valor numérico. Vamos usar o perfil de velocidade do escoamento de Couette entre cilindros concêntricos para fluido newtoniano.

Passo 2

Na teoria do escoamento laminar de Couette entre cilindros fixos, a velocidade angular do fluido satisfaz a equação
\omega(r) = A + \frac{B}{r^2},
com as condições de contorno \omega(a)=\Omega e \omega(b)=0. Das duas equações obtém-se
B = \frac{\Omega\,a^2\,b^2}{b^2 - a^2}, \quad A = -\frac{B}{b^2}.

Passo 3

A tensão de cisalhamento na parede do cilindro interno ( r=a) é
\tau(a) = -\mu\,r\,\frac{d\omega}{dr}\Big|_{r=a} = 2\,\mu\,\frac{B}{a^2} = 2\,\mu\,\frac{\Omega\,b^2}{b^2 - a^2}.
O torque T exigido para girar o cilindro interno é a tensão de cisalhamento vezes a área de contato multiplicada pelo raio:
T = \tau(a)\cdot(2\pi a L)\cdot a = 4\pi\,\mu\,\Omega\,L\,\frac{a^2\,b^2}{b^2 - a^2}.

Passo 4

Isolando \mu da expressão de T, temos
\mu = \frac{T\,(b^2 - a^2)}{4\pi\,L\,\Omega\,a^2\,b^2}.

Passo 5

Agora convertemos unidades e calculamos numericamente:
a = 0{,}06\:\mathrm{m},\quad b = 0{,}0615\:\mathrm{m},\quad L = 0{,}40\:\mathrm{m},
\Omega = 300\:\frac{\text{rev}}{\text{min}} = 5\:\frac{\text{rev}}{\text{s}}\times 2\pi = 10\pi\:\mathrm{rad/s}, \quad T = 1{,}8\:\mathrm{N\cdot m}.
Calculamos
b^2 - a^2 = 0{,}0615^2 - 0{,}06^2 = 1{,}8225\times10^{-4}\:\mathrm{m^2},
a^2\,b^2 = (0{,}06^2)(0{,}0615^2) \approx 1{,}3616\times10^{-5}\:\mathrm{m^4}.
Logo
\mu = \frac{1{,}8 \times 1{,}8225\times10^{-4}} {4\pi \times 0{,}4 \times 10\pi \times 1{,}3616\times10^{-5}} \approx 0{,}153\:\mathrm{Pa\cdot s}.

Resposta

\boxed{ \mu = \frac{T\,(b^2 - a^2)}{4\pi\,L\,\Omega\,a^2\,b^2} \quad\text{e} \quad \mu \approx 0{,}153\:\mathrm{Pa\cdot s}. }

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