1. No plano complexo, considere a EDO homogênea de segunda ordem
\frac{d^{2} w}{d z^{2}}+a \frac{d w}{d z}+b w=0
sendo a e b números complexos. Demonstre que:
(a) Se \lambda \in \mathbb{C} é uma raiz da equação do segundo grau
z^{2}+a z+b=0
então a função f(z)=e^{\lambda z} é uma solução da \operatorname{EDO} (2.1).
(b) Se \lambda_{1} e \lambda_{2} são raízes distintas da equação (2.2), então a solução geral da EDO (2.1) é
w(z)=\alpha e^{\lambda_{1} z}+\beta e^{\lambda_{2} z},
sendo \alpha, \beta \in \mathbb{C}.
(c) Se \lambda é raiz dupla da equação (2.2), então a solução geral da EDO (2.1) é
w(z)=e^{\lambda z}(\alpha+\beta z)
sendo \alpha, \beta \in \mathbb{C}.

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO linear homogênea de segunda ordem no plano complexo
\frac{d^{2}w}{dz^{2}} + a\,\frac{dw}{dz} + b\,w = 0
com a,b\in\mathbb{C}, e pede para mostrar que as soluções vêm da equação característica
z^{2} + a\,z + b = 0.

Passo 2

Para (a), suponha que \lambda\in\mathbb{C} seja raiz de
z^{2}+a\,z+b=0,
isto é,
\lambda^{2}+a\lambda+b=0.
Considere f(z)=e^{\lambda z}. Calculamos
f'(z)=\lambda e^{\lambda z}, \quad f''(z)=\lambda^{2}e^{\lambda z}.
Substituindo na EDO,
f'' + a\,f' + b\,f = \lambda^{2}e^{\lambda z} + a\,\lambda e^{\lambda z} + b\,e^{\lambda z} = e^{\lambda z}\bigl(\lambda^{2}+a\lambda+b\bigr) =0,
logo f satisfaz a EDO.

Passo 3

Para (b), se \lambda_{1} e \lambda_{2} são raízes distintas da característica, então e^{\lambda_{1}z} e e^{\lambda_{2}z} são duas soluções. Para ver que são linearmente independentes, considere
c_{1}e^{\lambda_{1}z}+c_{2}e^{\lambda_{2}z}=0 \quad\forall z.
Diferenciando e resolvendo o sistema para c_{1},c_{2}, obtemos c_{1}=c_{2}=0. Portanto a solução geral é
w(z)=\alpha\,e^{\lambda_{1}z} + \beta\,e^{\lambda_{2}z},
com \alpha,\beta\in\mathbb{C}.

Passo 4

Para (c), se a raiz \lambda é dupla, há apenas uma solução e^{\lambda z}. Usamos redução de ordem: buscamos w_{2}(z)=v(z)e^{\lambda z}. Substituindo na EDO chega-se a v''=0, cuja solução geral é v(z)=\alpha+\beta z. Assim a solução geral da EDO é
w(z)=e^{\lambda z}\bigl(\alpha+\beta z\bigr),
com \alpha,\beta\in\mathbb{C}.

Resposta

(a) Para cada raiz \lambda de z^{2}+a z+b=0, w(z)=e^{\lambda z} é solução.
(b) Se as raízes são distintas \lambda_{1},\lambda_{2}, então
w(z)=\alpha e^{\lambda_{1}z}+\beta e^{\lambda_{2}z}.
(c) Se há raiz dupla \lambda, então
w(z)=e^{\lambda z}(\alpha+\beta z).

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