Fixado a \in \mathbb{R}, para cada n \in \mathbb{N}, consideremos os intervalos I_{n}:=\left[a-\frac{1}{n}, a+\frac{1}{n}\right] e J_{n}:= \left(a, a+\frac{1}{n}\right). Prove que
Mostramos primeiro que \displaystyle\bigcap_{n}I_{n}=\{a\}.
Evidentemente a\in I_{n} para todo n, logo a\in\bigcap_{n}I_{n}.
Seja x\in\bigcap_{n}I_{n}. Então para todo n vale
\bigl|\,x-a\bigr|\le \frac{1}{n}.
Se x\neq a, então \delta=|x-a|>0. Pela propriedade arquimediana existe N tal que
\frac{1}{N}<\delta.
Mas isso contradiz \bigl|x-a\bigr|\le1/N. Logo não há x\neq a na interseção, e portanto
\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_{n}=\{a\}.
Passo 3
Agora vejamos \displaystyle\bigcap_{n}J_{n}. Suponha, por contradição, que exista x em todas as J_{n}. Então para todo n temos
a < x < a+\frac{1}{n},
em particular x>a. Seja \delta=x-a>0. Pelo arquimediano, escolha N tal que
\frac{1}{N}<\delta.
Então a+\tfrac1N < a+\delta = x, o que impede x < a+\tfrac1N. Logo x\notin J_{N}, contradição com a suposição. Assim não existe ponto comum a todas as J_{n}, e