Sejam c \in \mathbb{R} e A, B \subset \mathbb{R} subconjuntos não vazios e limitados. Definimos os conjuntos
A+B:=\{a+b: a \in A \text { e } b \in B\} \quad \text { e } \quad c A:=\{c a: a \in A\}
Prove as seguintes propriedades.
Se c \geq 0, \operatorname{então~} \inf (c A)=c \inf A.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um escalar c\ge0 e um conjunto A\subset\mathbb{R} não vazio e limitado. Definimos
cA=\{c\,a: a\in A\}
e queremos provar
\inf(cA)=c\,\inf A.
Lembraremos que \inf A é o maior limite inferior de A.

Passo 2

Caso c=0: nesse caso cA=\{0\}, logo
\inf(cA)=0
e também
c\,\inf A=0\cdot\inf A=0.
Portanto a igualdade vale trivialmente para c=0.

Passo 3

Agora considere c>0. Primeiro mostramos que c\,\inf A é um limite inferior de cA. Se x\in cA, então x=c\,a para algum a\in A. Como a\ge\inf A e c\ge0, multiplicando pela não negatividade de c obtemos
x=c\,a\ge c\,\inf A.
Isso prova que c\,\inf A é limite inferior de cA.

Passo 4

Para concluir que c\,\inf A é o maior limite inferior de cA, seja L um limite inferior qualquer de cA. Então
L\le c\,a\quad\text{para todo }a\in A.
Como c>0, podemos dividir por c mantendo o sentido da desigualdade:
\frac{L}{c}\le a\quad\text{para todo }a\in A,
logo \frac{L}{c}\le\inf A e daí
L\le c\,\inf A.
Isso mostra que nenhum outro limite inferior de cA excede c\,\inf A, de modo que
\inf(cA)=c\,\inf A.

Resposta

\inf(cA)=c\,\inf A.

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