Calcule
\lim _{x \rightarrow+\infty}(\sqrt{2 x-1}-\sqrt{2 x})

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{2x-1}-\sqrt{2x}\bigr).
O conteúdo aqui é reconhecer uma forma indeterminada do tipo \infty-\infty e usar racionalização para transformá-la numa forma que dê para avaliar o comportamento quando x\to+\infty.

Passo 2

Ao fazermos x\to+\infty, tanto \sqrt{2x-1} quanto \sqrt{2x} crescem sem limite. Logo a expressão \sqrt{2x-1}-\sqrt{2x} é indeterminada no formato \infty-\infty. Para resolver isso, vamos multiplicar e dividir pela conjugada, que é \sqrt{2x-1}+\sqrt{2x}.

Passo 3

Aplicando a racionalização, definimos
E(x)=\sqrt{2x-1}-\sqrt{2x} =\frac{\bigl(\sqrt{2x-1}-\sqrt{2x}\bigr)\bigl(\sqrt{2x-1}+\sqrt{2x}\bigr)}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{2x}} =\frac{(2x-1)-2x}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{2x}} =\frac{-1}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{2x}}.

Passo 4

Para x\to+\infty,
\sqrt{2x-1}+\sqrt{2x}\to+\infty,
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E(x) =\frac{-1}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{2x}} \;\longrightarrow\;0.

Resposta

0

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