(1,5) Fixe alpha=5 % e calcule o intervalo de confiança para amostras de tamanho n= 10,50,100,200.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para fixarmos alpha = 5% e calcular o intervalo de confiança para amostras de tamanhos n = 10, 50, 100, 200. O conteúdo aqui é o de intervalo de confiança, que é uma faixa de valores usada para estimar um parâmetro da população, como a média. Para resolver isso, vamos precisar entender a distribuição que usamos (normal ou t), o valor crítico correspondente ao nosso alpha e como o tamanho da amostra influencia o intervalo.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber qual distribuição usar. Quando a amostra é grande (geralmente n > 30), usamos a distribuição normal. Para amostras pequenas ( n <= 30), utilizamos a distribuição t de Student.
Como nossos tamanhos de amostra são 10, 50, 100 e 200, para n = 10 usaremos a distribuição t, e para os outros valores (50, 100, 200) usaremos a distribuição normal.

Passo 3

Vamos definir o nível de confiança. Com alpha = 5%, o nível de confiança é 1 - alpha = 95%. Isso significa que estamos 95% confiantes de que o intervalo calculado contém o verdadeiro parâmetro da população.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores críticos para cada caso. Para a distribuição normal, o valor crítico zalpha/2 para 95% de confiança é aproximadamente 1,96. Para a distribuição t, o valor crítico talpha/2 depende do grau de liberdade, que é n - 1.
Vamos calcular talpha/2 para n = 10:
  • Graus de liberdade: 10 - 1 = 9
  • Usando uma tabela t ou uma calculadora, encontramos t0,025,9 approx 2,262

Passo 5

A fórmula do intervalo de confiança para a média é:
IC = barx pm (crítico) times ( sraizn ) í
Onde:
  • barx é a média amostral
  • s é o desvio padrão da amostra
  • n é o tamanho da amostra
Como não temos valores específicos para barx e s, vamos expressar o intervalo de confiança de forma geral para cada tamanho de amostra.

Passo 6

Para cada tamanho de amostra:
  1. n = 10 (usando distribuição t):
    IC = barx pm 2,262 times ( sraiz10 )
  2. n = 50 (usando distribuição normal):
    IC = barx pm 1,96 times ( sraiz50 )
  3. n = 100 (usando distribuição normal):
    IC = barx pm 1,96 times ( sraiz100 )
  4. n = 200 (usando distribuição normal):
    IC = barx pm 1,96 times ( sraiz200 )

Resposta

Os intervalos de confiança para alpha = 5% são:
  1. Para n = 10:
    IC = barx pm 2,262 times ( sraiz10 )
  2. Para n = 50:
    IC = barx pm 1,96 times ( sraiz50 )
  3. Para n = 100:
    IC = barx pm 1,96 times ( sraiz100 )
  4. Para n = 200:
    IC = barx pm 1,96 times ( sraiz200 )
Esses intervalos mostram a faixa em que esperamos que a média populacional esteja, com 95% de confiança, para cada tamanho de amostra especificado.

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