Fixe
e calcule o intervalo de confiança para amostras de tamanho
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para fixarmos
e calcular o intervalo de confiança para amostras de tamanhos
. O conteúdo aqui é o de intervalo de confiança, que é uma faixa de valores usada para estimar um parâmetro da população, como a média. Para resolver isso, vamos precisar entender a distribuição que usamos (normal ou t), o valor crítico correspondente ao nosso
e como o tamanho da amostra influencia o intervalo.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber qual distribuição usar. Quando a amostra é grande (geralmente
), usamos a distribuição normal. Para amostras pequenas (
), utilizamos a distribuição t de Student.
Como nossos tamanhos de amostra são 10, 50, 100 e 200, para
usaremos a distribuição t, e para os outros valores (50, 100, 200) usaremos a distribuição normal.
Passo 3
Vamos definir o nível de confiança. Com
, o nível de confiança é
. Isso significa que estamos 95% confiantes de que o intervalo calculado contém o verdadeiro parâmetro da população.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os valores críticos para cada caso. Para a distribuição normal, o valor crítico
para 95% de confiança é aproximadamente 1,96. Para a distribuição t, o valor crítico
depende do grau de liberdade, que é
.
Vamos calcular
para
:
- Graus de liberdade:
- Usando uma tabela t ou uma calculadora, encontramos
Passo 5
A fórmula do intervalo de confiança para a média é:
Onde:
-
é a média amostral -
é o desvio padrão da amostra -
é o tamanho da amostra
Como não temos valores específicos para
e
, vamos expressar o intervalo de confiança de forma geral para cada tamanho de amostra.
Passo 6
Para cada tamanho de amostra:
-
(usando distribuição t): -
(usando distribuição normal): -
(usando distribuição normal): -
(usando distribuição normal):
Resposta
Os intervalos de confiança para
são:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Esses intervalos mostram a faixa em que esperamos que a média populacional esteja, com 95% de confiança, para cada tamanho de amostra especificado.