(1,5) Fixe o tamanho da amostra em n=10 e calcule o intervalo de confiança para alpha=0.1 %, 1 %, 5 %, 10 %

Passo 1

Beleza! O enunciado pede pra gente fixar o tamanho da amostra em $ n = 10 $ e calcular o intervalo de confiança para diferentes níveis de significância: $ \alpha = 0.1% $, $ 1% $, $ 5% $ e $ 10% $. O conteúdo aqui é sobre intervalo de confiança na estatística. Vamos precisar entender a fórmula do intervalo de confiança e como determinar os valores críticos para cada nível de $ \alpha $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um intervalo de confiança. Basicamente, ele nos dá uma faixa onde acreditamos que a média da população está, com um certo grau de confiança. A fórmula geral para o intervalo de confiança quando não conhecemos o desvio padrão da população e usamos a distribuição $ t $ de Student é:
t
Onde:
  • $ \bar{x} $ é a média da amostra
  • $ t_{\alpha/2} $ é o valor crítico da distribuição $ t $ para o nível de confiança escolhido
  • $ s $ é o desvio padrão da amostra
  • $ n $ é o tamanho da amostra
Como temos $ n = 10 $, os graus de liberdade (df) serão $ n - 1 = 9 $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os valores críticos $ t_{\alpha/2} $ para cada nível de $ \alpha $. Lembrando que o nível de confiança é $ 1 - \alpha $. Vamos listar os valores para cada $ \alpha $:
  1. $ \alpha = 0.1% $ (Nível de confiança: 99.9%)
  2. $ \alpha = 1% $ (Nível de confiança: 99%)
  3. $ \alpha = 5% $ (Nível de confiança: 95%)
  4. $ \alpha = 10% $ (Nível de confiança: 90%)
Vamos usar uma tabela da distribuição $ t $ ou uma calculadora estatística para encontrar esses valores para $ df = 9 $.

Passo 4

Aqui estão os valores críticos $ t_{\alpha/2} $ para cada $ \alpha $ com $ df = 9 $:
  1. $ \alpha = 0.1% $ talpha/2
  2. $ \alpha = 1% $ alpha
  3. $ \alpha = 5% $ df = 9
  4. $ \alpha = 10% $ alpha = 0.1%

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula do intervalo de confiança para cada nível de $ \alpha $:
alpha
Portanto, os intervalos de confiança ficam:
  1. Para $ \alpha = 0.1% $ (99.9%) barx pm talpha/2 times sraiz10
  2. Para $ \alpha = 1% $ (99%) alpha = 0.1%
  3. Para $ \alpha = 5% $ (95%) barx pm 4.781 times sraiz10
  4. Para $ \alpha = 10% $ (90%) alpha = 1%

Resposta

Os intervalos de confiança para $ n = 10 $ são:
  1. 99.9%: $ \bar{x} \pm 4.781 \times \frac{s}{\sqrt{10}} $
  2. 99%: $ \bar{x} \pm 3.250 \times \frac{s}{\sqrt{10}} $
  3. 95%: $ \bar{x} \pm 2.262 \times \frac{s}{\sqrt{10}} $
  4. 90%: ( \bar{x} \pm 1.833 \times \frac{s}{\sqrt{10}} \ )

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