(1,5) Esboce um gráfico que relaciona
e
onde
. Exiba os cálculos utilizados para esboçar o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente desenhar um gráfico que relaciona os valores de $ t $ com a probabilidade $ y $. A matéria aqui é Probabilidade, mais especificamente sobre a Distribuição Normal e o comportamento da média amostral. Para resolver, vamos calcular $ y $ para cada valor de $ t $ dado e depois fazer o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada símbolo significa:
- $ \mu_X $ é a média da população.
- $ \sigma_{\bar{X}} $ é o desvio padrão da média amostral, que é igual ao desvio padrão da população $ \sigma_X $ dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra $ n $, ou seja:
Passo 3
A expressão $ y = P\left(\mu_X - t \sigma_{\bar{X}} < \bar{X} < \mu_X + t \sigma_{\bar{X}}\right) $ representa a probabilidade de que a média amostral $ \bar{X} $ esteja dentro de $ t $ desvios padrão da média da população $ \mu_X $. Isso está relacionado com a Distribuição Normal padrão.
Passo 4
Sabendo que $ \bar{X} $ segue uma distribuição normal, podemos usar a função de distribuição acumulada da normal padrão, denotada por $ \Phi(t) $. A probabilidade $ y $ pode ser calculada assim:
Isso porque queremos a área central da curva normal compreendida entre $ -t $ e $ t $.
Passo 5
Agora, vamos calcular $ y $ para cada valor de $ t $ dado: $ \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2 $.
Usaremos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar $ \Phi(t) $:
-
Para $ t = \frac{1}{4} = 0,25 $:
-
Para $ t = \frac{1}{2} = 0,5 $:
-
Para $ t = 1 $:
-
Para $ t = \frac{3}{2} = 1,5 $:
-
Para $ t = 2 $:
Passo 6
Com os valores calculados, podemos montar uma tabela para facilitar o esboço do gráfico:
$ t $ | $ y $ |
---|---|
0,25 | 0,1974 |
0,5 | 0,383 |
1 | 0,6826 |
1,5 | 0,8664 |
2 | 0,9544 |
Para esboçar o gráfico, no eixo horizontal colocamos os valores de $ t $ e no eixo vertical os valores correspondentes de $ y $. Os pontos seguem uma curva crescente, já que conforme $ t $ aumenta, a probabilidade $ y $ também aumenta, aproximando-se de 1.
Resposta
O gráfico de $ t $ versus $ y $ é uma curva ascendente que passa pelos pontos (0,25, 0,1974), (0,5, 0,383), (1, 0,6826), (1,5, 0,8664) e (2, 0,9544), mostrando que a probabilidade $ y $ aumenta conforme $ t $ aumenta.