Um fluido alimentício é aquecido usando água como fluido de aquecimento operando em correntes paralelas. O alimento entra a 20^{\circ} \mathrm{C} e a água a 110^{\circ} \mathrm{C}, \operatorname{com} taxa de fluxo de 3 e 2 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, respectivamente. Determine as temperaturas de saída dos fluidos sabendo que: Cp alimento é de 1,8 \mathrm{kj} / \mathrm{kg}{ }^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{U}=1200 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C} e a área de troca térmica de 7 \mathrm{~m}^{2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Temperatura de entrada do alimento: T_{c,\mathrm{in}} = 20^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de entrada da água (fluido quente): T_{h,\mathrm{in}} = 110^\circ\mathrm{C}.
  • Vazão mássica do alimento: \dot m_c = 3\\ \mathrm{kg/s}.
  • Vazão mássica da água: \dot m_h = 2\\ \mathrm{kg/s}.
  • Capacidade térmica do alimento: C_{p,c} = 1{,}8\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)}.
  • Coeficiente global de transferência de calor: U = 1200\\ \mathrm{W/(m^2\,^\circ C)}.
  • Área de troca térmica: A = 7\\ \mathrm{m^2}.
O enunciado pede: determinar as temperaturas de saída dos dois fluidos:
  • T_{c,\mathrm{out}} (saída do alimento, o fluido frio),
  • T_{h,\mathrm{out}} (saída da água, o fluido quente).
Observação importante (informação não dada explicitamente): é necessário conhecer a capacidade calorífica da água C_{p,h}. Vou usar o valor padrão para água líquida:
C_{p,h} = 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)}.
Se esse valor for diferente no enunciado da sua prova, os números mudam; mas usar 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)} é a prática comum.

Passo 2

Escolha do método: para trocadores de calor em correntes paralelas (ambos os fluidos entram no mesmo lado e fluem paralelos), uma forma prática é usar o método “efetividade–NTU” (effectiveness–NTU).
Por quê usar esse método aqui?
  • Temos U e A (logo podemos calcular UA), e as vazões mássicas e C_p (logo conseguimos as capacidades térmicas).
  • O método NTU permite calcular diretamente a razão entre o calor real transferido e o máximo calor possível, sem precisar resolver implicitamente a equação não-linear LMTD com duas incógnitas.
    Vou explicar os conceitos antes de calcular.

Passo 3

Conceitos e cálculos iniciais (capacidade térmica, conversão de unidades).
Capacidade térmica (taxa de calor por grau) de cada corrente:
C_c = \dot m_c\,C_{p,c},\qquad C_h = \dot m_h\,C_{p,h}.
Converter C_p para unidades SI ( \mathrm{W/(kg\,^\circ C)}): 1\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)} = 1000\\ \mathrm{W/(kg\,^\circ C)}.
Cálculo numérico:
C_c = 3\cdot 1{,}8\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)} = 3\cdot 1800\\ \mathrm{W/^\circ C} = 5400\\ \mathrm{W/^\circ C}.
C_h = 2\cdot 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)} = 2\cdot 4180\\ \mathrm{W/^\circ C} = 8360\\ \mathrm{W/^\circ C}.
Identificar C_{\min} e C_{\max}:
C_{\min} = 5400\\ \mathrm{W/^\circ C},\qquad C_{\max} = 8360\\ \mathrm{W/^\circ C}.
Calcular UA:
UA = U\cdot A = 1200\\ \mathrm{W/(m^2\,^\circ C)}\times 7\\ \mathrm{m^2} = 8400\\ \mathrm{W/^\circ C}.

Passo 4

Definir NTU e razão de capacidades C_r; apresentar a fórmula de efetividade para fluxo paralelo.
Definições:
\mathrm{NTU} = \frac{UA}{C_{\min}}, \qquad C_r = \frac{C_{\min}}{C_{\max}}.
Para trocador em correntes paralelas, a efetividade \varepsilon é dada por
\varepsilon = \frac{1-\exp\big[-\mathrm{NTU}(1+C_r)\big]}{1+C_r}.
A interpretação: \varepsilon é a fração do calor máximo possível (quando a corrente de capacidade infinita) que é realmente transferido.
Calcular numericamente:
\mathrm{NTU} = \frac{8400}{5400} = 1{,}555555\ldots
C_r = \frac{5400}{8360} \approx 0{,}64545.
Calcular o argumento exponencial:
\mathrm{NTU}(1+C_r) = 1{,}555555\ldots\times(1+0{,}64545)\approx 2{,}56068.
\exp\big[-\mathrm{NTU}(1+C_r)\big]\approx e^{-2{,}56068}\approx 0{,}07748.
Logo
\varepsilon = \frac{1-0{,}07748}{1+0{,}64545} \approx \frac{0{,}92252}{1{,}64545}\approx 0{,}56066.

Passo 5

Calcular o calor efetivamente transferido Q usando a efetividade.
O calor máximo possível (se a corrente de menor capacidade chegasse à temperatura do fluxo quente) seria
Q_{\max} = C_{\min}\big(T_{h,\mathrm{in}}-T_{c,\mathrm{in}}\big).
O calor real é
Q = \varepsilon\,Q_{\max} = \varepsilon\,C_{\min}\big(T_{h,\mathrm{in}}-T_{c,\mathrm{in}}\big).
Numérico:
T_{h,\mathrm{in}}-T_{c,\mathrm{in}} = 110-20 = 90^\circ\mathrm{C}.
Q = 0{,}56066\cdot 5400\cdot 90 \\ \mathrm{W} = 0{,}56066\cdot 486000\\ \mathrm{W}\approx 272480{,}8\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Usar balanço de energia para achar as temperaturas de saída.
Balanço de energia para cada fluido:
Q = C_c\big(T_{c,\mathrm{out}}-T_{c,\mathrm{in}}\big), \qquad Q = C_h\big(T_{h,\mathrm{in}}-T_{h,\mathrm{out}}\big).
Despejando as temperaturas de saída:
T_{c,\mathrm{out}} = T_{c,\mathrm{in}} + \frac{Q}{C_c}, \qquad T_{h,\mathrm{out}} = T_{h,\mathrm{in}} - \frac{Q}{C_h}.
Substituindo os números:
T_{c,\mathrm{out}} = 20 + \frac{272480{,}8}{5400}\\ ^\circ\mathrm{C} = 20 + 50{,}462\\ ^\circ\mathrm{C}\approx 70{,}46^\circ\mathrm{C}.
T_{h,\mathrm{out}} = 110 - \frac{272480{,}8}{8360}\\ ^\circ\mathrm{C} = 110 - 32{,}588\\ ^\circ\mathrm{C}\approx 77{,}41^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Verificação rápida de consistência (checar conservação de energia e LMTD):
  • Energia: C_c(T_{c,\mathrm{out}}-T_{c,\mathrm{in}})=5400\times(70{,}46-20)=5400\times50{,}46\approx272481\\ \mathrm{W}, igual ao Q encontrado — ok.
  • Diferença de temperatura na saída: \Delta T_2 = T_{h,\mathrm{out}}-T_{c,\mathrm{out}}\approx 77{,}41-70{,}46=6{,}95^\circ\mathrm{C}.
    Cálculo do LMTD: \Delta T_1 = 90^\circ\mathrm{C},\qquad \Delta T_2\approx 6{,}95^\circ\mathrm{C},
\mathrm{LMTD} = \frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln(\Delta T_1/\Delta T_2)} \approx\frac{90-6{,}95}{\ln(90/6{,}95)}\approx 32{,}44^\circ\mathrm{C}.
Então UA\cdot\mathrm{LMTD}=8400\times32{,}44\approx272490\\ \mathrm{W}, que coincide com Q dentro de arredondamentos. Tudo consistente.

Resposta

Alimento (saída): T_{c,\mathrm{out}} \approx 70{,}46^\circ\mathrm{C}
Água (saída): T_{h,\mathrm{out}} \approx 77{,}41^\circ\mathrm{C}

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