Um trocador de calor casco-e-tubos que possuem 0,0254 \mathrm{~m} de diâmetro externo, é usado para resfriar leite com 87 \% de água (calor específico igual a 3,180 \mathrm{kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} ) de 75^{\circ} \mathrm{C} a 7^{\circ} \mathrm{C}, escoando a uma vazão de 2.93 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} . \mathrm{O} fluido refrigerante é água (calor específico igual a 4,187 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} ) disponível a 5^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{e} 2.30 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. O trocador possui 72 tubos e o coeficiente global de transferência de calor baseado na área externa de um tubo é igual a 568 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Calcule a área de troca térmica e o comprimento do trocador para a seguinte configuração:
Escoamento em contracorrente.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá (peguei todos estes valores do enunciado) e o que se pede:
  • Diâmetro externo do tubo: D_o = 0,0254\\ \mathrm{m}.
  • Número de tubos: N = 72.
  • Leite (fluido quente): vazão mássica \dot{m}_h = 2,93\\ \mathrm{kg/s}, calor específico c_{p,h} = 3,180\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (vou converter para \mathrm{J/(kg\cdot K)}), temperatura de entrada T_{h,in} = 75^\circ\mathrm{C}, temperatura de saída desejada T_{h,out} = 7^\circ\mathrm{C}.
  • Água refrigerante (fluido frio): vazão mássica \dot{m}_c = 2,30\\ \mathrm{kg/s}, calor específico c_{p,c} = 4,187\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (vou converter para \mathrm{J/(kg\cdot K)}), temperatura de entrada T_{c,in} = 5^\circ\mathrm{C}. Temperatura de saída T_{c,out} é desconhecida e será obtida por balanço de energia.
  • Coeficiente global de transferência de calor (baseado na área externa do tubo): U = 568\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Configuração: escoamento em contracorrente.
    O que se pede:
  • Área de troca térmica total A (baseada na área externa dos tubos).
  • Comprimento do trocador L (comprimento de cada tubo, assumindo todos com mesmo comprimento).

Passo 2

Primeiro fiz conversões de unidades e defini variáveis:
  • Converter c_{p,h} e c_{p,c} para \mathrm{J/(kg\cdot K)}:
c_{p,h} = 3{,}180\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = 3180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, \qquad c_{p,c} = 4{,}187\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = 4187\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Explicação rápida (aula rápida): a fórmula básica do balanço térmico para um fluido que troca calor sem mudança de fase é
\dot{Q}=\dot{m}\,c_p\,(T_{in}-T_{out}),
onde \dot{Q} é a taxa de calor (W), \dot{m} é vazão mássica (kg/s), c_p é calor específico ( \mathrm{J/(kg\cdot K)}) e T_{in}-T_{out} é a queda de temperatura (K). Essa fórmula vem de energia interna sensível q=m c_p \Delta T dividida por tempo.
Calculei a taxa de calor que o leite (fluido quente) deve ceder:
\dot{Q}=\dot{m}_h\,c_{p,h}\,(T_{h,in}-T_{h,out}).
Substituindo números:
T_{h,in}-T_{h,out}=75-7=68\\ \mathrm{K},
\dot{Q}=2{,}93\cdot 3180 \cdot 68.
Faço as contas em etapas:
3180\cdot 68 = 216240,
\dot{Q}=216240\cdot 2{,}93 = 633583{,}2\\ \mathrm{W}.
Portanto
\dot{Q}=633583{,}2\\ \mathrm{W}\quad(\approx 633{,}6\\ \mathrm{kW}).

Passo 3

Agora uso o balanço de energia no refrigerante (água) para obter sua temperatura de saída T_{c,out}. A água absorve \dot{Q}, então
\dot{Q}=\dot{m}_c\,c_{p,c}\,(T_{c,out}-T_{c,in}).
Isolando T_{c,out}:
T_{c,out}=T_{c,in}+\frac{\dot{Q}}{\dot{m}_c\,c_{p,c}}.
Substituindo valores:
\dot{m}_c\,c_{p,c}=2{,}30\cdot 4187 = 9620{,}1\\ \mathrm{W/K},
\frac{\dot{Q}}{\dot{m}_c\,c_{p,c}}=\frac{633583{,}2}{9620{,}1}=65{,}870333\\ \mathrm{K}.
Logo
T_{c,out}=5 + 65{,}870333 = 70{,}870333^\circ\mathrm{C}.
Verificação de consistência (curiosidade útil para prova): T_{c,out} é menor que T_{h,in}=75^\circ\mathrm{C}, então não há contradição física (a água não aqueceu acima da temperatura máxima do leite).

Passo 4

Para trocadores em contracorrente usamos o LMTD (Log Mean Temperature Difference — diferença de temperatura logarítmica média). Definições:
  • \Delta T_1 = T_{h,in} - T_{c,out} (diferença na entrada do lado quente / saída do lado frio),
  • \Delta T_2 = T_{h,out} - T_{c,in} (diferença na saída do lado quente / entrada do lado frio).
    A fórmula do LMTD é
\Delta T_{lm} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}.
Isso surge da integração do balanço de energia ao longo do trocador assumindo U constante; é a média logarítmica apropriada quando a diferença de temperatura varia exponencialmente ao longo do comprimento.
Calculo \Delta T_1 e \Delta T_2 com os valores obtidos:
\Delta T_1 = T_{h,in}-T_{c,out} = 75 - 70{,}870333 = 4{,}129667\\ \mathrm{K},
\Delta T_2 = T_{h,out}-T_{c,in} = 7 - 5 = 2\\ \mathrm{K}.
Agora a LMTD:
\Delta T_{lm} = \frac{4{,}129667 - 2}{\ln\!\left(\dfrac{4{,}129667}{2}\right)} = \frac{2{,}129667}{\ln(2{,}0648335)}.
Calculo do logaritmo e divisão (mostrando aproximação):
\ln(2{,}0648335)\approx 0{,}72507,
\Delta T_{lm}\approx \frac{2{,}129667}{0{,}72507}\approx 2{,}94\\ \mathrm{K}.
Vou guardar \Delta T_{lm}=2{,}9379\\ \mathrm{K} (aprox.) para os cálculos seguintes. Observação didática: atenção — quando \Delta T_1 e \Delta T_2 são muito próximas, a LMTD aproxima-se daquelas diferenças; quando elas diferem bastante, a média logarítmica ajusta corretamente a média efetiva.

Passo 5

Relação entre \dot{Q}, U, A e \Delta T_{lm}:
\dot{Q} = U\,A\,\Delta T_{lm}.
Isolando a área total de troca A:
A = \frac{\dot{Q}}{U\,\Delta T_{lm}}.
Substituindo números:
A = \frac{633583{,}2}{568 \cdot 2{,}9379}.
Faço os cálculos:
568\cdot 2{,}9379 \approx 1668{,}73,
A \approx \frac{633583{,}2}{1668{,}73} \approx 379{,}66\\ \mathrm{m^2}.
Arredondando de forma razoável: A \approx 379{,}7\\ \mathrm{m^2}.

Passo 6

Agora calculo o comprimento do trocador (comprimento de cada tubo). A área externa total dos N tubos é
A = N \cdot (\text{perímetro externo do tubo}) \cdot L = N \cdot \pi D_o \cdot L.í
Isolando L:
L = \frac{A}{N\pi D_o}.
Substituindo valores:
N\pi D_o = 72\cdot \pi \cdot 0{,}0254.
Calculo do denominador:
\pi\cdot 0{,}0254 \approx 0{,}079796, \qquad 72\cdot 0{,}079796 \approx 5{,}74531.
Portanto
L = \frac{379{,}66}{5{,}74531}\approx 66{,}12\\ \mathrm{m}.
Arredondamento razoável: L \approx 66{,}1\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Breve verificação final (bom hábito numa prova): a área calculada e o comprimento resultante são consistentes com as ordens de grandeza: grande troca térmica (resfriar muito leite) pede área significativa; comprimento de 66\\ \mathrm{m} por tubo pode ser alto mas é coerente para um trocador com muitos tubos finos e grande necessidade de calor. Em problemas práticos há formas de reduzir comprimento (aumentar U, usar mais tubos, passar por múltiplos passes, trocar diâmetro, usar leito tubular com corrugações etc.), mas para ó trabalho de prova os cálculos acima estão corretos.

Resposta

A = 379{,}7\\ \mathrm{m^{2}}
L = 66{,}1\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados