Um trocador de calor casco-e-tubos que possuem 0,0254 \mathrm{~m} de diâmetro externo, é usado para resfriar leite com 87 \% de água (calor específico igual a 3,180 \mathrm{kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} ) de 75^{\circ} \mathrm{C} a 7^{\circ} \mathrm{C}, escoando a uma vazão de 2.93 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} . \mathrm{O} fluido refrigerante é água (calor específico igual a 4,187 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} ) disponível a 5^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{e} 2.30 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. O trocador possui 72 tubos e o coeficiente global de transferência de calor baseado na área externa de um tubo é igual a 568 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Calcule a área de troca térmica e o comprimento do trocador para a seguinte configuração:
Escoamento em correntes paralelas;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Diâmetro externo de um tubo: D_o=0,0254\\ \mathrm{m}.
  • Vazão mássica do leite (fluido quente): \dot{m}_h=2,93\\ \mathrm{kg/s}.
  • Composição do leite: 87\% água, calor específico fornecido do leite: c_{p,h}=3,180\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Temperatura do leite: entrada T_{h,in}=75^\circ\mathrm{C}, saída desejada T_{h,out}=7^\circ\mathrm{C}.
  • Fluido refrigerante: água, calor específico c_{p,c}=4,187\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (valor usual).
  • Vazão mássica da água refrigerante: \dot{m}_c=2,30\\ \mathrm{kg/s}.
  • Temperatura da água refrigerante na entrada: T_{c,in}=5^\circ\mathrm{C}.
  • Número de tubos: N=72.
  • Coeficiente global de transferência de calor, baseado na área externa do tubo: U=568\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Configuração pedida: escoamento em correntes paralelas (co-corrente).
O enunciado pede:
  • Calcular a área de troca térmica A e o comprimento do trocador L (comprimento dos tubos) para a configuração de correntes paralelas.
Observação: aqui estão todos os números do enunciado e o que é solicitado. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Calcular a taxa de calor necessária para resfriar o leite (balanço de energia do leite).
Conceito usado (mini-aula): para um fluido que sofre variação de temperatura sem mudança de fase, a taxa de calor removida do fluido quente é
\dot{Q}=\dot{m}_h\,c_{p,h}\,(T_{h,in}-T_{h,out}),
onde:
  • \dot{Q} é a potência térmica (em W),
  • \dot{m}_h é a vazão mássica do fluido quente (kg/s),
  • c_{p,h} é o calor específico à pressão constante do fluido quente (J/(kg·K)),
  • T_{h,in} e T_{h,out} são as temperaturas de entrada e saída do fluido quente (°C ou K; diferenças de temperatura são iguais em °C ou K).
Antes de usar a fórmula, converto os calores específicos para unidades consistentes (SI) em J/(kg·K):
c_{p,h}=3{,}180\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}=3180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},
c_{p,c}=4{,}187\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}=4187\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Agora cálculo \dot{Q}:
\dot{Q}=\;2{,}93\cdot 3180\cdot(75-7)\\ \mathrm{W}.
Faço as contas passo a passo:
75-7=68,
3180\cdot 68 = 216240\\ \mathrm{J/(s\cdot K)\cdot K} =216240\\ \mathrm{W\cdot s/K\cdot K} \\ (\text{apenas produto numérico}),é
\dot{Q}=2{,}93\cdot 216240 = 633583{,}2\\ \mathrm{W}\approx 6,3358\times10^{5}\\ \mathrm{W}.
Interpretação: é a potência térmica que precisa ser removida do leite para levá-lo de 75^\circ\mathrm{C} a 7^\circ\mathrm{C}: \dot{Q}\approx 633{,}6\\ \mathrm{kW}.

Passo 3

Verificar quanto a água refrigerante necessariamente aquece para absorver essa potência (balanço de energia da água).
Conceito usado: conservação de energia entre os dois fluidos (no regime estacionário, sem acumulação):
\dot{Q}=\dot{m}_c\,c_{p,c}\,(T_{c,out}-T_{c,in}).
Dessa equação isolamos T_{c,out}:
T_{c,out}=T_{c,in}+\frac{\dot{Q}}{\dot{m}_c\,c_{p,c}}.
Substituo os valores:
\dot{m}_c\,c_{p,c}=2{,}30\cdot 4187 = 9630{,}1\\ \mathrm{W/K}.
\frac{\dot{Q}}{\dot{m}_c c_{p,c}}=\frac{633583{,}2}{9630{,}1}\approx 65{,}79\\ \mathrm{K}.
T_{c,out}=5^\circ\mathrm{C}+65{,}79^\circ\mathrm{C}=70{,}79^\circ\mathrm{C}.
Resultado: se a água absorver toda a potência necessária, ela sairia a aproximadamente 70{,}8^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Análise física de viabilidade para escoamento em correntes paralelas (co-corrente).
Mini-aula conceitual importante e muito usada em prova:
  • Em um trocador em correntes paralelas, os dois fluidos entram pelo mesmo lado e fluem paralelamente na mesma direção. Ao longo do comprimento os perfis de temperatura evoluem, e em nenhum ponto ao longo do comprimento o fluido frio pode ultrapassar em temperatura o fluido quente naquele mesmo ponto (ou seja, as curvas de temperatura não se cruzam). Isso implica que a temperatura de saída do fluido frio não pode ser maior do que a temperatura de saída do fluido quente em um trocador em correntes paralelas. Além disso, para um trocador com área muito grande (limite ideal), as duas correntes tendem a um equilíbrio térmico comum T_{eq}, que fica entre as temperaturas de entrada dos dois fluidos.
  • O equilíbrio térmico (temperatura comum limite, para área muito grande) é obtido impondo conservação de energia:
\dot{m}_h c_{p,h}(T_{h,in}-T_{eq})=\dot{m}_c c_{p,c}(T_{eq}-T_{c,in}).
Dessa relação isolamos T_{eq}:
T_{eq}=\frac{\dot{m}_h c_{p,h} T_{h,in}+\dot{m}_c c_{p,c} T_{c,in}}{\dot{m}_h c_{p,h}+\dot{m}_c c_{p,c}}.
Calculo de T_{eq} com os números dados:
\dot{m}_h c_{p,h}=2{,}93\cdot 3180 = 9317{,}4\\ \mathrm{W/K},
\dot{m}_c c_{p,c}=2{,}30\cdot 4187 = 9630{,}1\\ \mathrm{W/K},
T_{eq}=\frac{9317{,}4\cdot 75 + 9630{,}1\cdot 5}{9317{,}4+9630{,}1} =\frac{698805 + 48150{,}5}{18947{,}5} \approx 39{,}43^\circ\mathrm{C}.
Interpretação e conclusão física:
  • Mesmo com área infinita (ou muito grande), em correntes paralelas o leite e a água tenderiam a um equilíbrio em torno de 39{,}4^\circ\mathrm{C}. Isso significa que, com as vazões e calores específicos dados, o leite não pode ser resfriado abaixo de aproximadamente 39{,}4^\circ\mathrm{C} em escoamento paralelo.
  • O objetivo do enunciado é levar o leite a 7^\circ\mathrm{C}, bem abaixo de 39{,}4^\circ\mathrm{C}. Portanto, com a configuração paralela e os dados de vazões e temperaturas fornecidos, isso é fisicamente impossível, por limitação de capacidade térmica do refrigerante (não há calor suficiente sendo levado embora pela água).
  • Outra maneira de ver a impossibilidade é observar que do passo 3 obteve-se T_{c,out}\approx 70{,}8^\circ\mathrm{C}, que fica muito acima de T_{h,out}=7^\circ\mathrm{C}. Em escoamento paralelo, as curvas de temperatura não podem cruzar; o resultado T_{c,out}>T_{h,out} indicaria cruzamento, logo inconsistente para co-corrente.
Portanto: não existe área finita (nem infinita) em um trocador em correntes paralelas com os dados dados que consiga resfriar o leite até 7^\circ\mathrm{C}. Ou seja, a especificação solicitada (leite a 7^\circ\mathrm{C} com esses fluxos e temperaturas e escoamento paralelo) é inviável.

Passo 5

O que isso significa para os cálculos de área A e comprimento L, e como proceder numa prova:
  • Fórmula que normalmente se usaria (mini-aula prática): para projetar a área de um trocador sem mudança de fase usa-se a relação
\dot{Q}=U\,A\,\Delta T_{lm},
onde \Delta T_{lm} é a diferença média logarítmica de temperatura (LMTD) para correntes paralelas:
\Delta T_{lm}=\frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)},
com \Delta T_1=T_{h,in}-T_{c,in} e \Delta T_2=T_{h,out}-T_{c,out}.
  • Porém, essas fórmulas só fazem sentido quando as temperaturas em cada extremidade preservam a ordem (isto é, \Delta T_1 e \Delta T_2 têm o mesmo sinal e representam diferenças efetivas). No caso aqui, ao tentar aplicá-las com os valores obtidos, aparece \Delta T_2=T_{h,out}-T_{c,out}=7-70{,}79=-63{,}79^\circ\mathrm{C}, sinal contrário a \Delta T_1=70^\circ\mathrm{C}: isso indica cruzamento de temperaturas e que a hipótese de correntes paralelas falha.
  • Logo, não é válido calcular A ou L para um trocador paralelo com esses dados porque a condição térmica necessária não se cumpre.
Sugestões práticas (útil para prova/solução alternativa):
  • Para conseguir resfriar o leite até 7^\circ\mathrm{C} mantendo o mesmo refrigerante a 5^\circ\mathrm{C} e cp da água, é necessário alterar as vazões (aumentar \dot{m}_c) ou usar uma configuração contracorrente (counter-current), onde é possível que o fluido refrigerante saia a temperatura maior que a saída do leite, permitindo maior aproveitamento térmico. Uma solução de projeto seria calcular a vazão necessária da água ou usar contracorrente e então projetar A e L.
  • Se desejar, posso calcular a vazão mínima de água necessária para que a água, drenando a potência \dot{Q}, não ultrapasse T_{h,out} (ou seja, para que T_{c,out}\le T_{h,out}), ou projetar para contracorrente — me avise e eu faço passo a passo.

Resposta

Não é possível resfriar o leite até 7^\circ\mathrm{C} em escoamento em correntes paralelas com os dados fornecidos; portanto a área de troca térmica A e o comprimento L não existem para essa configuração (a condição térmica necessária não é satisfeita).

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