Um fluido alimentício entra em um trocador de calor de tubo duplo em contracorrente a 38^{\circ} \mathrm{C} e uma taxa de 0,75 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. É aquecido por outro fluido de cp =1,884 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} ) fluindo a uma taxa de 1,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e uma temperatura de entrada de 116^{\circ} \mathrm{C}. Para uma área de 13 \mathrm{~m}^{2} e coeficiente global de transferência de calor de 340 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} .K, determine a taxa total de transferência de calor?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Temperatura de entrada do fluido alimentício (frio): T_{c,\text{in}}=38^\circ\mathrm{C}.
  • Vazão mássica do fluido alimentício (frio): \dot m_c=0,75\\ \mathrm{kg/s}.
  • O fluido aquecedor (quente) tem c_p=1,884\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Vazão mássica do fluido aquecedor (quente): \dot m_h=1,5\\ \mathrm{kg/s}.
  • Temperatura de entrada do fluido aquecedor (quente): T_{h,\text{in}}=116^\circ\mathrm{C}.
  • Área de troca térmica: A=13\\ \mathrm{m^2}.
  • Coeficiente global de transferência de calor: U=340\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
O enunciado pede: determinar a taxa total de transferência de calor \dot Q no trocador em contracorrente.
Observação importante (assunção necessária): o enunciado NÃO fornece o valor do c_p do fluido alimentício (frio). Para resolver numericamente é preciso esse valor. Vou assumir que o fluido alimentício tem calor específico igual ao da água líquida à temperatura de processo, isto é c_{p,c}=4,186\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. Faço essa assunção porque muitos fluidos alimentícios têm c_p próximos ao da água e problemas típicos usam esse valor quando não especificado. Se for outro c_p, a solução numérica muda proporcionalmente.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (breve e prática).
  • Temos massas, c_p, U e A. Não temos temperaturas de saída. O método mais direto e estável é o método NTU–efetividade (NTU– \varepsilon), que permite calcular a taxa de calor \dot Q quando se conhece U A, vazões mássicas e c_p, sem precisar inicialmente das temperaturas de saída.
  • Para trocador em contracorrente com capacidade térmica finita em ambos os fluidos e razão de capacidades C_r\neq1, usa-se a fórmula de efetividade:
\varepsilon=\frac{1-\exp\!\big(-\mathrm{NTU}(1-C_r)\big)}{1-C_r\exp\!\big(-\mathrm{NTU}(1-C_r)\big)},
onde explicarei o que são \mathrm{NTU}, C_r e como obtém-se \dot Q.

Passo 3

Converter unidades e calcular quantidades básicas (explicando cada definição).
  • Primeiro transformar c_p para unidades consistentes (SI para potências em W e K): c_{p,h}=1{,}884\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}=1{,}884\times10^{3}\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
c_{p,c}=4{,}186\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}=4{,}186\times10^{3}\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Definição da taxa de capacidade térmica (capacidade térmica = vazão mássica \times c_p): C_h=\dot m_h c_{p,h},\qquad C_c=\dot m_c c_{p,c}.Essas grandezas têm unidade \mathrm{W/K} (ou \mathrm{J/(s\cdot K)}), e representam a “resistência térmica” do fluido a mudar de temperatura: quanto maior C, mais difícil mudar sua temperatura.
  • Calcular numericamente: C_h = 1{,}5\cdot(1{,}884\times10^{3}) = 1{,}5\cdot1884 = 2826\\ \mathrm{W/K}.
C_c = 0{,}75\cdot(4{,}186\times10^{3}) = 0{,}75\cdot4186 = 3139{,}5\\ \mathrm{W/K}.
  • Identificar a menor capacidade térmica: C_{\min}=\min(C_h,C_c)=2826\\ \mathrm{W/K}, \qquad C_{\max}=3139{,}5\\ \mathrm{W/K}.
  • Definir razão de capacidades: C_r=\frac{C_{\min}}{C_{\max}}=\frac{2826}{3139{,}5}\approx0{,}900.
  • Calcular UA em \mathrm{W/K}: UA=U\cdot A = 340\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m^2\cdot K}}\cdot13\\ \mathrm{m^2}=4420\\ \mathrm{W/K}.

Passo 4

Definir NTU, explicar o significado e calcular.
  • Definição: \mathrm{NTU}=\dfrac{UA}{C_{\min}}. Interpretação: \mathrm{NTU} é uma medida da eficácia da área disponível para transferir calor em relação à capacidade do fluido que mais dificulta a mudança de temperatura. Quanto maior NTU, maior a efetividade máxima possível.
  • Calcular: \mathrm{NTU}=\frac{4420}{2826}\approx1{,}5639.

Passo 5

Fórmula da efetividade para trocador em contracorrente (quando C_r\neq1) e cálculo da efetividade \varepsilon.
  • Fórmula (já citada), explicando variáveis: \varepsilon=\frac{1-\exp\!\big(-\mathrm{NTU}(1-C_r)\big)}{1-C_r\exp\!\big(-\mathrm{NTU}(1-C_r)\big)}.Aqui \varepsilon é a razão entre a transferência de calor real e o máximo calor possível ( \dot Q_{\max}=C_{\min}(T_{h,\text{in}}-T_{c,\text{in}})).
  • Calcular o termo \mathrm{NTU}(1-C_r): 1-C_r\approx1-0{,}900=0{,}100,
\mathrm{NTU}(1-C_r)=1{,}5639\cdot0{,}100\approx0{,}15639.
\exp\!\big(-\mathrm{NTU}(1-C_r)\big)\approx e^{-0{,}15639}\approx0{,}8554.
  • Agora a efetividade: \varepsilon=\frac{1-0{,}8554}{1-0{,}900\cdot0{,}8554}=\frac{0{,}1446}{1-0{,}7699}=\frac{0{,}1446}{0{,}2301}\approx0{,}6289.

Passo 6

Calcular a taxa de calor \dot Q a partir da efetividade.
  • Primeiro o máximo calor possível (capacidade mínima vezes a diferença de temperatura entre entradas): \dot Q_{\max}=C_{\min}\big(T_{h,\text{in}}-T_{c,\text{in}}\big).
T_{h,\text{in}}-T_{c,\text{in}}=116-38=78\\ \mathrm{K}.
\dot Q_{\max}=2826\\ \mathrm{W/K}\cdot78\\ \mathrm{K}=220428\\ \mathrm{W}.
  • A transferência real de calor: \dot Q=\varepsilon\,\dot Q_{\max}=0{,}6289\cdot220428\\ \mathrm{W}\approx138502\\ \mathrm{W}.Em unidades mais usuais: \dot Q\approx138{,}5\\ \mathrm{kW}.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, também didático): calcular temperaturas de saída e checar ordem de grandeza.
  • Temperatura de saída do fluido quente: T_{h,\text{out}}=T_{h,\text{in}}-\frac{\dot Q}{C_h}=116^\circ\mathrm{C}-\frac{138502}{2826}\\ \mathrm{K}\approx116-49{,}0\approx67{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de saída do fluido frio: T_{c,\text{out}}=T_{c,\text{in}}+\frac{\dot Q}{C_c}=38^\circ\mathrm{C}+\frac{138502}{3139{,}5}\\ \mathrm{K}\approx38+44{,}1\approx82{,}1^\circ\mathrm{C}.
  • Observação: T_{c,\text{out}}(82{,}1^\circ\mathrm{C}) é maior que T_{h,\text{out}}(67{,}0^\circ\mathrm{C}). Isso pode ocorrer em contracorrente: o fluido frio pode sair a uma temperatura até perto (ou até acima do que o fluido quente em certas condições) do que o fluido quente sai, dependendo das capacidades. Aqui os números são fisicamente consistentes com a solução (as diferenças de temperatura para cálculo de LMTD seriam positivas). Essa verificação mostra que os resultados parecem razoáveis em ordem de grandeza.

Resposta

\dot Q \approx 138{,}5\\ \mathrm{kW}

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