Um trocador de calor de tubo duplo e usa óleo a uma temperatura de 205^{\circ} \mathrm{C} para aquecer a água, de 16^{\circ} \mathrm{C} a 44^{\circ} \mathrm{C}, fluindo paralelamente a 225 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} ao óleo que flui a 270 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} \mathrm{e} \mathrm{cp}=1,88 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}.
. a) qual é a área de transferência de calor necessária para um coeficiente de transferência de calor total de 340 \mathrm{~W} / \mathrm{m} 2 \mathrm{~K}
b) Determine o número da unidade de transferência (NTU). c) Calcule a efetividade do trocador de calor.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (não vou resolver ainda, só organizar os dados).
  • Dados fornecidos:
    • Água: temperatura inicial \,T_{c,i}=16^{\circ}\mathrm{C}\, e final \,T_{c,o}=44^{\circ}\mathrm{C}\,.
    • Vazão mássica da água: \,\dot{m}_c=225\\ \mathrm{kg/h}\,.
    • Óleo (fluido quente): temperatura de entrada \,T_{h,i}=205^{\circ}\mathrm{C}\,.
    • Vazão mássica do óleo: \,\dot{m}_h=270\\ \mathrm{kg/h}\,.
    • Capacidade térmica específica fornecida no enunciado: \,c_p=1{,}88\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\,. Pelo modo como o enunciado está escrito, esse valor refere-se ao óleo. Vou explicitar isso e usar essa interpretação.
    • Coeficiente global de transmissão de calor: \,U=340\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}\,.
  • O que o enunciado pede:
    a) A área de transferência de calor necessária, assumindo fluxo paralelo e o valor de U dado.
    b) O número de unidades de transferência (NTU).
    c) A efetividade do trocador de calor.
  • Observações e suposições (importantes):
    • O enunciado não dá o valor de c_p da água; vou usar o valor padrão para água líquida à temperatura moderada: \,c_{p,\text{água}}=4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}á. Se quiser outro valor, avise, mas este é o usual em problemas de prova.
    • Vou assumir que não há perdas de calor para o ambiente, então a taxa de calor ganha pela água é igual à perdida pelo óleo (conservação de energia).
    • Converto as unidades de vazão de \mathrm{kg/h} para \mathrm{kg/s} para trabalhar em SI.

Passo 2

Converter unidades e escrever os valores numéricos em unidades SI (explico por que faço cada conversão).
  • Converter vazões de \mathrm{kg/h} para \mathrm{kg/s}: para isso divide-se por 3600 (segundos por hora). \dot{m}_c=\frac{225}{3600}=0{,}0625\\ \mathrm{kg/s}.
\dot{m}_h=\frac{270}{3600}=0{,}0750\\ \mathrm{kg/s}.
  • Converter c_p (óleo) de \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} para \mathrm{J/(kg\cdot K)} (multiplica por 1000): c_{p,h}=1{,}88\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}=1880\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.Para a água, uso c_{p,c}=4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Explicação curta: trabalhar em \mathrm{J}, \mathrm{s}, \mathrm{m}^2, \mathrm{K} é conveniente porque U está em \mathrm{W/(m^2\cdot K)} e 1\\ \mathrm{W}=1\\ \mathrm{J/s}.

Passo 3

Calcular a taxa de calor transferida usando a água (fato: água aquece de 16 a 44^{\circ}\mathrm{C}). Aplico a fórmula da taxa de calor por um fluxo de massa:
  • Fórmula (explicação): a taxa de calor absorvida por um fluido que muda de temperatura é
    \dot{Q}=\dot{m}\,c_p\,\Delta T,
    onde \dot{Q} é em \mathrm{W}, \dot{m} em \mathrm{kg/s}, c_p em \mathrm{J/(kg\cdot K)} e \Delta T em \mathrm{K} (ou ^\circ\mathrm{C}).
  • Aplicando à água (onde \,\Delta T_c=T_{c,o}-T_{c,i}=44-16=28\\ \mathrm{K}\,):
    \dot{Q}=\dot{m}_c\,c_{p,c}\,(T_{c,o}-T_{c,i}) =0{,}0625\cdot 4180\cdot 28.
    Calculo passo a passo:
    4180\cdot 28=117040,
\dot{Q}=0{,}0625\cdot 117040=7315\\ \mathrm{W}.
Interpretação: a água precisa receber \,7315\\ \mathrm{W} do óleo para aquecer de 16 a 44^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 4

Usar balanço de energia para checar a queda de temperatura do óleo (útil para LMTD). Explico a ideia e calculo T_{h,o}.
  • Balanço de energia (sem perdas):
    \dot{Q}=\dot{m}_h\,c_{p,h}\,(T_{h,i}-T_{h,o}).
    Isolando T_{h,o}:
    T_{h,o}=T_{h,i}-\frac{\dot{Q}}{\dot{m}_h\,c_{p,h}}.
  • Substituindo números:
    \dot{m}_h\,c_{p,h}=0{,}0750\cdot 1880=141\\ \mathrm{W/K}.
\frac{\dot{Q}}{\dot{m}_h\,c_{p,h}}=\frac{7315}{141}\approx51{,}90\\ \mathrm{K}.
T_{h,o}=205-51{,}90\approx153{,}10^{\circ}\mathrm{C}.
Interpretação: o óleo sai a aproximadamente \,153{,}1^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 5

Calcular o LMTD (log mean temperature difference) para fluxo paralelo e explicar a fórmula.
  • Em fluxo paralelo, os dois fluidos entram pelo mesmo lado e saem pelo outro; as diferenças de temperatura nas extremidades são: \Delta T_1 = T_{h,i}-T_{c,i}=205-16=189\\ \mathrm{K},
\Delta T_2 = T_{h,o}-T_{c,o}=153{,}10-44=109{,}10\\ \mathrm{K}.
  • Fórmula do LMTD (explicação): o LMTD é a média logarítmica das duas diferenças de temperatura e é definida por
    \mathrm{LMTD}=\frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}.
    Essa expressão surge ao integrar a variação local de calor ao longo do comprimento do trocador quando U é constante.
  • Substituindo valores:
    \mathrm{LMTD}=\frac{189-109{,}10}{\ln\!\left(\dfrac{189}{109{,}10}\right)} =\frac{79{,}90}{\ln(1{,}7337)}.
\ln(1{,}7337)\approx0{,}5500\quad\Rightarrow\quad \mathrm{LMTD}\approx\frac{79{,}90}{0{,}5500}\approx145{,}3\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Calcular a área necessária usando a relação básica entre taxa de calor, U, área e LMTD.
  • Fórmula (explicação): para um trocador com coeficiente global U e LMTD conhecido,
    \dot{Q}=U\,A\,\mathrm{LMTD},
    onde A é a área de troca. Assim
    A=\frac{\dot{Q}}{U\,\mathrm{LMTD}}.
  • Substituindo:
    A=\frac{7315}{340\cdot 145{,}3}.
    Calcular passo a passo:
    340\cdot 145{,}3\approx49391{,} \quad A\approx\frac{7315}{49391}\approx0{,}148\\ \mathrm{m}^2.
Comentário prático: a área é relativamente pequena ( \sim0{,}15\\ \mathrm{m}^2) porque a diferença de temperatura de entrada é grande e U é moderadamente alta.

Passo 7

Calcular as taxas de capacidade térmica (heat capacity rates) dos dois fluidos — isso é necessário para NTU e efetividade — e explicar o conceito.
  • Definição (explicação): a taxa de capacidade térmica é C=\dot{m}\,c_p e tem unidade \mathrm{W/K}. Ela representa quanta potência é necessária para elevar 1 K na corrente. C_c=\dot{m}_c\,c_{p,c}=0{,}0625\cdot 4180=261{,}25\\ \mathrm{W/K},
C_h=\dot{m}_h\,c_{p,h}=0{,}0750\cdot 1880=141{,}00\\ \mathrm{W/K}.
  • Identificar C_{\min} e C_{\max}: C_{\min}=141{,}00\\ \mathrm{W/K}\quad(\text{o óleo}),ó
C_{\max}=261{,}25\\ \mathrm{W/K}\quad(\text{a água}).á
Explicação curta: o menor C controla a capacidade do trocador de produzir diferença térmica útil — por isso C_{\min} aparece nas fórmulas de efetividade.

Passo 8

Calcular o NTU (Number of Transfer Units) e explicar o significado.
  • Fórmula (explicação): por definição
    \mathrm{NTU}=\frac{U\,A}{C_{\min}}.
    O NTU mede a “força” do trocador de calor: quanto maior o NTU, mais próximo do equilíbrio térmico as correntes ficam.
  • Substituindo:
    \mathrm{NTU}=\frac{340\cdot 0{,}148}{141}\approx\frac{50{,}32}{141}\approx0{,}358.
Interpretação: \mathrm{NTU}\approx0{,}358 é um valor moderadamente pequeno, indicando que o trocador é relativamente curto/pequeno em relação à necessidade térmica do par de fluidos.

Passo 9

Calcular a efetividade \varepsilon para fluxo paralelo e explicar a fórmula usada.
  • Definição (explicação): a efetividade é a razão entre a taxa real de transferência de calor e a taxa máxima possível (se o fluido com C_{\min} fosse levado até a temperatura do fluido quente de entrada). Ou seja
    \varepsilon=\frac{\dot{Q}}{C_{\min}\,(T_{h,i}-T_{c,i})}.
    Existe também uma fórmula direta em função de NTU e razão de capacidades C_r=\dfrac{C_{\min}}{C_{\max}} para trocador em paralelo:
    \varepsilon=\frac{1-\exp\!\big[-\mathrm{NTU}\,(1+C_r)\big]}{1+C_r}.
    Ambas as formas devem dar o mesmo resultado (é um bom cheque).
  • Calcular C_r:
    C_r=\frac{C_{\min}}{C_{\max}}=\frac{141{,}00}{261{,}25}\approx0{,}540.
  • Usando a fórmula com NTU:
    \varepsilon=\frac{1-\exp\!\big[-0{,}358\,(1+0{,}540)\big]}{1+0{,}540}.
    Calcular passo a passo:
    1+0{,}540=1{,}540,
-0{,}358\cdot 1{,}540\approx-0{,}551,\quad \exp(-0{,}551)\approx0{,}576,
1-0{,}576=0{,}424,
\varepsilon\approx\frac{0{,}424}{1{,}540}\approx0{,}275.
  • Checagem pela definição: \varepsilon=\frac{\dot{Q}}{C_{\min}\,(T_{h,i}-T_{c,i})}=\frac{7315}{141\cdot 189}=\frac{7315}{26649}\approx0{,}275,que bate com o resultado anterior — bom sinal.
Interpretação: a efetividade \approx0{,}275 significa que o trocador, nas condições e com a área calculada, transfere cerca de 27{,}5\% do calor máximo teoricamente possível.

Passo 10

Resumo rápido e palavras de incentivo: já organizamos tudo passo a passo, com unidades coerentes e checagem cruzada (energia da água = energia do óleo e duas formas de calcular \varepsilon coincidem). Vai dar certo na prova — foco nas fórmulas essenciais que usei: \dot{Q}=\dot{m}c_p\Delta T, \mathrm{LMTD}, A=\dot{Q}/(U\,\mathrm{LMTD}), \mathrm{NTU}=UA/C_{\min} e a expressão de \varepsilon para fluxo paralelo.

Resposta

A=0{,}148\\ \mathrm{m}^2
\mathrm{NTU}=0{,}358
\varepsilon=0{,}275

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