Um fluido entra num tubo cilíndrico de raio R com um perfil de velocidades descrito por v_{1}(r)=2\left(2-\frac{r}{R}\right) \mathrm{m} / \mathrm{s} e sai com perfil de velocidade v_{2}(r)=V_{0}\left(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right) \mathrm{m} / \mathrm{s}. Determine o valor do parâmetro V_{0}.

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento estacionário e incompressível num tubo cilíndrico de raio R. A velocidade de entrada é
v_{1}(r)=2\Bigl(2-\frac{r}{R}\Bigr)\\ \mathrm{m/s}
e a de saída é
v_{2}(r)=V_{0}\Bigl(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\Bigr)\\ \mathrm{m/s}.
Como o fluido é incompressível, a vazão volumétrica Q deve ser a mesma na entrada e na saída. Para cada perfil usamos
Q = \int_{A} v(r)\,dA
em coordenadas cilíndricas, onde dA=2\pi r\,dr.

Passo 2

Calculamos a vazão de entrada Q_{1}:
Q_{1} = \int_{0}^{R} v_{1}(r)\,2\pi r\,dr =2\pi \int_{0}^{R} 2\Bigl(2-\frac{r}{R}\Bigr) r\,dr.
Fazendo a integral:
\int_{0}^{R}2\bigl(2r - \frac{r^{2}}{R}\bigr)\,dr =2\Bigl[\int_{0}^{R}2r\,dr - \frac{1}{R}\int_{0}^{R}r^{2}\,dr\Bigr] =2\Bigl[R^{2} - \frac{R^{2}}{3}\Bigr] =\frac{4R^{2}}{3}.
Logo,
Q_{1} = 2\pi \cdot \frac{4R^{2}}{3} = \frac{8\pi R^{2}}{3}.

Passo 3

Calculamos a vazão de saída Q_{2}:
Q_{2} = \int_{0}^{R} v_{2}(r)\,2\pi r\,dr =2\pi V_{0}\int_{0}^{R}\Bigl(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\Bigr)r\,dr.
Fazendo a integral:
\int_{0}^{R}\Bigl(r - \frac{r^{3}}{R^{2}}\Bigr)\,dr =\frac{R^{2}}{2} - \frac{R^{2}}{4} =\frac{R^{2}}{4}.
Logo,
Q_{2} = 2\pi V_{0}\cdot \frac{R^{2}}{4} =\frac{\pi V_{0}R^{2}}{2}.

Passo 4

Pelo perfil incompressível, impomos Q_{1}=Q_{2}:
\frac{\pi V_{0}R^{2}}{2} = \frac{8\pi R^{2}}{3} \quad\Longrightarrow\quad V_{0} = \frac{16}{3}\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

V_{0} = \dfrac{16}{3}\\ \mathrm{m/s}.

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