Um fluido ideal de densidade \rho=0,8 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} entra numa rede de dutos por um tubo de diâmetro 80 cm a uma velocidade de 2,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Esse fluido é distribuído por três dutos menores. O primeiro tem 30 cm de diâmetro e o fluido escoa por ele com velocidade de 4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, o segundo tem um diâmetro de 40 cm e velocidade de escoamento de 4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule a vazão mássica na entrada e a velocidade de escoamento v através do terceiro duto que tem um diâmetro de 50 cm considerando o escoamento permanente.

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento permanente de um fluido ideal de densidade \rho=0,8,g/cm ^3 que entra num duto de diâmetro 80,cm com velocidade 2,5,m/s e se divide em três ramos cujos diâmetros são 30,cm, 40,cm e 50,cm. Nos dois primeiros ramos a velocidade é 4{,}0,m/s, e no terceiro queremos determinar a velocidade v. Vamos usar a equação da continuidade de massa
\dot m = \rho\,A\,v
e a conservação
\dot m_{\rm in} = \dot m_1 + \dot m_2 + \dot m_3.

Passo 2

Primeiro converto a densidade para unidades SI: \rho = 0,8,g/cm ^3 = 800,kg/m ^3.
O diâmetro de entrada é 0,80,m, então a área é
A_{\rm in} = \pi\bigl(\tfrac{0,80}{2}\bigr)^2 = 0,16\pi\\ \mathrm{m}^2.
A vazão volumétrica na entrada é
Q_{\rm in} = A_{\rm in}\,v_{\rm in} = 0,16\pi \times 2,5 = 0,4\pi\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s},
e a vazão mássica
\dot m_{\rm in} = \rho\,Q_{\rm in} = 800 \times 0,4\pi = 320\pi\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 3

Calculo agora a vazão mássica nos dois primeiros dutos:
Para o duto 1 ( D_1=0,30,m, v_1=4{,}0,m/s):
A_1 = \pi\bigl(\tfrac{0,30}{2}\bigr)^2 = 0,0225\pi\\ \mathrm{m}^2,\quad \dot m_1 = \rho\,A_1\,v_1 = 800 \times 0,0225\pi \times 4 = 72\pi\\ \mathrm{kg/s}.
Para o duto 2 ( D_2=0,40,m, v_2=4{,}0,m/s):
A_2 = \pi\bigl(\tfrac{0,40}{2}\bigr)^2 = 0,04\pi\\ \mathrm{m}^2,\quad \dot m_2 = 800 \times 0,04\pi \times 4 = 128\pi\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 4

Pela continuidade de massa:
\dot m_{\rm in} = \dot m_1 + \dot m_2 + \dot m_3 \quad\Longrightarrow\quad 320\pi = 72\pi + 128\pi + \dot m_3 \quad\Longrightarrow\quad \dot m_3 = 120\pi\\ \mathrm{kg/s}.
No terceiro duto temos D_3=0,50,m, logo
A_3 = \pi\bigl(\tfrac{0,50}{2}\bigr)^2 = 0,0625\pi\\ \mathrm{m}^2,
e como \dot m_3 = \rho\,A_3\,v,
120\pi = 800 \times 0,0625\pi \,v \quad\Longrightarrow\quad 120\pi = 50\pi\,v \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{120}{50} = 2,4\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

A vazão mássica na entrada é \dot m_{\rm in} = 320\pi,kg/s \approx 1005{,}3,kg/s
e a velocidade no terceiro duto é v = 2{,}4,m/s.

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