Um fluido ideal de densidade \rho=900 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} entra numa tubulação de área A_{1}=0,1 \mathrm{~m}^{2} com velocidade média \vec{v}_{1}=1,0 \hat{i} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A tubulação faz uma curva de 90^{\circ} de modo que o fluido sai com velocidade média \vec{v}_{2}=1,25 \hat{j} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Sabendo que o escoamento é permanente, determine a área A_{2} e a força média da tubulação sobre o fluido durante a curva.

Passo 1

O enunciado trata de um escoamento permanente de um fluido ideal (incompressível e sem viscosidade) de densidade \rho=900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 numa tubulação que muda de direção em 90^\circ. Entrando na seção 1 com área A_1=0,1\,\mathrm{m}^2 e velocidade média \vec v_1=1,0\,\hat \imath\;\mathrm{m}/\mathrm{s}, o fluido sai na seção 2 com velocidade média \vec v_2=1,25\,\hat \jmath\;\mathrm{m}/\mathrm{s}. Vamos usar:
  1. A equação da continuidade (conservação de massa) para achar A_2.
  2. O balanço de quantidade de movimento (momento linear) em regime permanente para calcular a força média que a tubulação exerce sobre o fluido.

Passo 2

Pela equação da continuidade em escoamento incompressível e permanente temos
\rho\,A_{1}\,\lvert v_{1}\rvert \;=\;\rho\,A_{2}\,\lvert v_{2}\rvert.
Como \rho é constante e não nula, simplifica-se para
A_{1}\,\lvert v_{1}\rvert = A_{2}\,\lvert v_{2}\rvert.

Passo 3

Substituindo \lvert v_{1}\rvert=1,0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, \lvert v_{2}\rvert=1,25\,\mathrm{m}/\mathrm{s} e A_{1}=0,1\,\mathrm{m}^2, obtemos
A_{2} = A_{1}\,\frac{\lvert v_{1}\rvert}{\lvert v_{2}\rvert} = 0,1\,\frac{1,0}{1,25} =0,08\;\mathrm{m}^2.

Passo 4

O fluxo mássico (vazão de massa) em regime permanente é
\dot m = \rho\,A_{1}\,\lvert v_{1}\rvert =900\,\times0,1\,\times1,0 =90\;\mathrm{kg}/\mathrm{s}.

Passo 5

Pelo teorema do momento linear em regime permanente, a força resultante \vec F que a tubulação exerce sobre o fluido é igual à variação do fluxo de momento:
\vec F = \dot m\,\bigl(\vec v_{2}-\vec v_{1}\bigr).

Passo 6

Substituindo \dot m=90\,\mathrm{kg/s}, \vec v_{1}=1,0\,\hat \imath e \vec v_{2}=1,25\,\hat \jmath, vem
\vec F =90\bigl(1,25\,\hat \jmath - 1,0\,\hat \imath\bigr) =-90\,\hat \imath +112,5\,\hat \jmath \quad\mathrm{(N)}.

Resposta

A 2= 0,08\;\mathrm{m}^2 \displaystyle \vec F = -90\,\hat \imath +112,5\,\hat \jmath\;\mathrm{N}

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