Um fluido incompressível com densidade \rho=850 \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} escoa com velocidade média \mathrm{v}=2,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em um duto circular de diâmetro \mathrm{D}=0,08 \mathrm{~m}. Calcule (a) a vazão volumétrica Q e (b) a vazão mássica m.

Passo 1

O enunciado dá um fluido incompressível e pede duas coisas: (a) a vazão volumétrica Q e (b) a vazão mássica \dot{m}. As informações fornecidas são:
\rho = 850\\ \mathrm{kg/m^{3}},\qquad v = 2,5\\ \mathrm{m/s},\qquad D = 0,08\\ \mathrm{m}.
Perguntas claras:
  • (a) Calcular Q (vazão volumétrica), em \mathrm{m^{3}/s}.
  • (b) Calcular \dot{m} (vazão mássica), em \mathrm{kg/s}.

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas e o significado de cada variável:
  • A área da seção transversal de um duto circular (círculo) é dada por
A = \frac{\pi D^{2}}{4},
onde A é a área em \mathrm{m^{2}} e D é o diâmetro em \mathrm{m}.
  • A vazão volumétrica média Q relaciona velocidade média v e área A:
Q = v \, A,
onde Q está em \mathrm{m^{3}/s} e v em \mathrm{m/s}.
  • A vazão mássica \dot{m} é a massa que passa por segundo e relaciona-se com a densidade \rho e Q:
\dot{m} = \rho \, Q,
onde \dot{m} está em \mathrm{kg/s}.
Explicando rápido: A diz quanto “espaço” tem o cano, v diz quão rápido o fluido anda, então Q (volume por tempo) é simplesmente velocidade vezes área. Multiplicando esse volume por densidade obtemos massa por tempo.

Passo 3

Calcular a área da seção usando D=0,08\\ \mathrm{m}. Substituindo na fórmula:
A = \frac{\pi D^{2}}{4} = \frac{\pi (0,08)^{2}}{4}.
Vou simplificar passo a passo:
(0,08)^{2} = 0,0064,
\frac{0,0064}{4} = 0,0016,
portanto
A = 0,0016\,\pi\\ \mathrm{m^{2}} \approx 0,0050265\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Agora a vazão volumétrica Q. Usamos Q = vA com v=2,5\\ \mathrm{m/s} e o A calculado:
Q = vA = 2,5 \times 0,0016\,\pi = 0,004\,\pi\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Convertendo para valor numérico:
Q \approx 0,004 \times 3{,}14159265 = 0,01256637\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Arredondando de forma apropriada (três algarismos significativos) temos Q \approx 0,0126\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 5

Agora a vazão mássica \dot{m} = \rho Q. Substituindo \rho=850\\ \mathrm{kg/m^{3}} e o Q numérico:
\dot{m} = 850 \times 0,01256637\\ \mathrm{kg/s} \approx 10,6814\\ \mathrm{kg/s}.
Arredondando para três algarismos significativos: \dot{m} \approx 10,7\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 6

Verificação rápida de unidades: Q tem \mathrm{m^{3}/s} (porque v tem \mathrm{m/s} e A tem \mathrm{m^{2}}), e \dot{m} tem \mathrm{kg/s} (porque densidade \rho é \mathrm{kg/m^{3}} e multiplica Q em \mathrm{m^{3}/s}). Tudo coerente. Respire fundo — esse tipo de problema é direto se lembrarmos: área de círculo, Q=vA, \dot{m}=\rho Q.

Resposta

Q = 0,0126\\ \mathrm{m^{3}/s}
\dot{m} = 10,7\\ \mathrm{kg/s}

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