Um fluido incompressível de viscosidade dinâmica igual a 0,9 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} e massa especifica igual a 999 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} escoa num diâmetro de 180 mm . A vazão volumétrica do fluido é 1,7 \times 10^{-2} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Baseado nestes dados calcule: a) a velocidade média do escoamento; b) certifique-se se o regime é laminar ou turbulento; c) Determine a diferença de pressão entre um trecho de 14 m e para o trecho de 18 m .

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) a velocidade média do escoamento; (b) verificar se o regime é laminar ou turbulento; (c) determinar a diferença de pressão entre os pontos situados a 14 m e a 18 m ao longo do trecho do tubo.\n
Dados fornecidos (vou listar explicitamente e dar nomes às variáveis que vou usar):
D = 0,18\\ \mathrm{m}\quad(\text{diâmetro})â
Q = 1,7\times10^{-2}\\ \mathrm{m^{3}/s}\quad(\text{vazão volumétrica})ãé
\mu = 0,9\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}} = 0,9\\ \mathrm{Pa\cdot s}\quad(\text{viscosidade dinâmica})â
\rho = 999\\ \mathrm{kg/m^{3}}\quad(\text{massa específica})í
O trecho entre os dois pontos tem comprimento
L = |18 - 14| = 4\\ \mathrm{m}.
O que precisamos calcular depois: velocidade média V, número de Reynolds \mathrm{Re} para classificar o regime, fator de atrito f apropriado ao regime, e então a queda de pressão \Delta p entre 14 m e 18 m.

Passo 2

Calcular a velocidade média V. Fatos úteis: área da secção circular do tubo é A = \pi D^{2}/4; a relação entre vazão e velocidade média é Q = A V. Vou isolar V:
V = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{\pi D^{2}/4} = \frac{4Q}{\pi D^{2}}.
Agora substituo os valores (faço as contas passo a passo):
\pi D^{2} = \pi(0,18)^{2} = \pi(0,0324)\approx 0,1017876.
4Q = 4\cdot 1,7\times10^{-2} = 0,068.
V = \frac{0,068}{0,1017876}\approx 0,66795\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com precisão razoável para a prova:
V \approx 0,668\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Determinar o número de Reynolds \mathrm{Re} para decidir o regime. Definição e interpretação: o número de Reynolds mede a razão entre forças inerciais e viscosas no escoamento; é dado por
\mathrm{Re} = \frac{\rho V D}{\mu},
onde \rho é a massa específica, V a velocidade média, D o diâmetro e \mu a viscosidade dinâmica. Critério prático (típico em tubos): escoamento laminar se \mathrm{Re} \lesssim 2000; transição entre 2000 e 4000; turbulento para \mathrm{Re}\gtrsim 4000. Substituindo os números:
\mathrm{Re} = \frac{999\cdot 0,66795\cdot 0,18}{0,9}.
Faço em etapas:
999\cdot 0,66795 \approx 667,28,
667,28\cdot 0,18 \approx 120,1104,
\mathrm{Re} \approx \frac{120,1104}{0,9} \approx 133,456.
Logo
\mathrm{Re} \approx 133.
Esse valor é muito abaixo de 2000, portanto o escoamento é laminar.

Passo 4

Como o escoamento é laminar, usamos a expressão clássica para o fator de atrito f em tubos lisos no regime laminar:
f = \frac{64}{\mathrm{Re}}.
Substituindo:
f = \frac{64}{133,456}\approx 0,4798.
Arredondando:
f \approx 0,480.

Passo 5

Calcular a diferença de pressão \Delta p entre os pontos a 14 m e 18 m. A fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga por atrito ao longo de um comprimento L é
\Delta p = f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho V^{2}}{2},
onde \Delta p é a perda de pressão (positivo, representando queda de pressão no sentido do escoamento). Vou calcular \frac{\rho V^{2}}{2} primeiro:
V^{2} \approx (0,66795)^{2} \approx 0,44615,
\frac{\rho V^{2}}{2} = \frac{999\cdot 0,44615}{2} \approx \frac{445,70385}{2} \approx 222,8519\\ \mathrm{Pa}.
Calculo agora f\frac{L}{D}:
\frac{L}{D} = \frac{4}{0,18} \approx 22,2222,
f\frac{L}{D} \approx 0,4798\cdot 22,2222 \approx 10,661.
Finalmente,
\Delta p \approx 10,661\cdot 222,8519 \approx 2375,8\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando de forma conveniente:
\Delta p \approx 2,38\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa} = 2,38\\ \mathrm{kPa}.
Interpretação: o ponto a 14 m está aproximadamente 2,38\\ \mathrm{kPa} acima do ponto a 18 m (queda de pressão no sentido do escoamento).

Resposta

(a) V \approx 0,668\\ \mathrm{m/s}
(b) Escoamento laminar, pois \mathrm{Re}\approx 133 < 2000
(c) \Delta p \approx 2,38\times10^{3}\\ \mathrm{Pa} = 2,38\\ \mathrm{kPa}

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