11-104 A água fria ( c_{p}=4180 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} ) conduzida a uma ducha entra em um trocador de calor de tubo duplo com parede fina em contracorrente a 15^{\circ} \mathrm{C} com uma taxa de 0,25 \mathrm{kg} / \mathrm{s} e é aquecida a 45^{\circ} \mathrm{C} com água quente ( c_{p}=4190 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}. { }^{\circ} \mathrm{C} ) que entra a 100^{\circ} \mathrm{C} com uma taxa de 3 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Se o coeficiente global de transferência de calor é de 950 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}, determinar a taxa de transferência de calor e a superfície de transferência de calor do trocador de calor utilizando o método \varepsilon-NTU.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados:
\dot m_c=0{,}25\\ \mathrm{kg/s},\quad c_{p,c}=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)},\quad T_{c,in}=15^\circ\mathrm{C},\quad T_{c,out}=45^\circ\mathrm{C},
\dot m_h=3{,}0\\ \mathrm{kg/s},\quad c_{p,h}=4190\\ \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)},\quad T_{h,in}=100^\circ\mathrm{C},
U=950\\ \mathrm{W/(m^2\cdot^\circ C)}.
O que se pede:
  • Determinar a taxa de transferência de calor \dot Q.
  • Determinar a área de troca térmica A do trocador usando o método \varepsilon-NTU (trocador em contracorrente).

Passo 2

Conceito e fórmula de taxa de calor ligada à vazão mássica e calor específico.
Para qualquer fluxo de fluido, a taxa de calor associada à variação de temperatura é
\dot Q = \dot m\, c_p\, (T_{out}-T_{in}),
onde \dot m é a vazão mássica (kg/s), c_p é o calor específico (J/(kg·°C)) e T estão em °C. A unidade resultante é J/s = W.
No trocador, podemos calcular \dot Q pelo fluido que tem a variação de temperatura conhecida (aqui a água fria).

Passo 3

Calcular a taxa de calor usando o lado frio (dados completos).
Usando a fórmula:
\dot Q = \dot m_c\, c_{p,c}\, (T_{c,out}-T_{c,in}).
Substituindo os valores:
\dot Q = 0{,}25\cdot 4180\cdot (45-15)\\ \mathrm{W}.
Calcule passo a passo:
\dot m_c c_{p,c} = 0{,}25\cdot 4180 = 1045\\ \mathrm{W/^\circ C},
T_{c,out}-T_{c,in} = 30^\circ\mathrm{C},
\dot Q = 1045\cdot 30 = 31350\\ \mathrm{W}.
Observação: este é o calor absorvido pela água fria; por conservação de energia, é também o calor perdido pela água quente (desprezando perdas externas).

Passo 4

Definição das capacidades térmicas e razão de capacidades (conceito importante para \varepsilon-NTU).
Definimos as capacidades térmicas (taxas de calor por unidade de diferença de temperatura):
C_c = \dot m_c\, c_{p,c},\qquad C_h = \dot m_h\, c_{p,h}.
Calcule:
C_c = 0{,}25\cdot 4180 = 1045\\ \mathrm{W/^\circ C},
C_h = 3{,}0\cdot 4190 = 12570\\ \mathrm{W/^\circ C}.
Identificamos
C_{\min}=\min(C_c,C_h)=1045\\ \mathrm{W/^\circ C},
C_{\max}=\max(C_c,C_h)=12570\\ \mathrm{W/^\circ C}.
A razão de capacidades é
C_r=\frac{C_{\min}}{C_{\max}}=\frac{1045}{12570}\approx 0{,}083176.
Explicação curta: C indica quanta energia por segundo é necessária para elevar em 1°C o fluido; o menor C limita a capacidade de troca do trocador.

Passo 5

Definição de Q_{\max} e eficiência ( \varepsilon) do trocador.
A máxima taxa de calor possível entre os dois fluxos (se o fluido com menor capacidade trocasse até a temperatura de entrada do outro) é
\dot Q_{\max} = C_{\min}\,(T_{h,in}-T_{c,in}).
Calcule:
\dot Q_{\max} = 1045\cdot (100-15) = 1045\cdot 85 = 88825\\ \mathrm{W}.
A eficiência (efetividade) do trocador é definida por
\varepsilon = \frac{\dot Q}{\dot Q_{\max}}.
Substituindo \dot Q calculado no Passo 3:
\varepsilon = \frac{31350}{88825}\approx 0{,}353285.
Interpretação: o trocador consegue efetivar aproximadamente 35{,}3\% do calor máximo teoricamente possível dado os fluxos.

Passo 6

Relação \varepsilon-NTU para contracorrente e estratégia para obter NTU.
Para um trocador de calor de fluxo em contracorrente com C_r\neq 1, a relação entre efetividade \varepsilon, número de unidades térmicas NTU e razão de capacidades C_r é:
\varepsilon = \frac{1-\exp\left[-NTU(1-C_r)\right]}{1-C_r\exp\left[-NTU(1-C_r)\right]}.
Aqui NTU é definido por
NTU=\frac{U\,A}{C_{\min}},
onde A é a área de troca que queremos achar. Nosso objetivo é obter primeiro NTU a partir de \varepsilon e C_r, e depois achar A.
Para resolver para NTU isolamos a exponencial. Defina
x=\exp\left[-NTU(1-C_r)\right].
A fórmula fica
\varepsilon=\frac{1-x}{1-C_r x}.
Resolva para x:
\varepsilon(1-C_r x)=1-x \Rightarrow \varepsilon -\varepsilon C_r x = 1 - x,
x(1-\varepsilon C_r)=1-\varepsilon,
x=\frac{1-\varepsilon}{1-\varepsilon C_r}.
Então
NTU = -\frac{\ln x}{1-C_r}.

Passo 7

Calcular numericamente x e NTU.
Usando \varepsilon\approx 0{,}353285 e C_r\approx 0{,}083176:
1-\varepsilon = 1-0{,}353285 = 0{,}646715,
1-\varepsilon C_r = 1-0{,}353285\cdot 0{,}083176 \approx 1-0{,}029347 = 0{,}970653,
x=\frac{0{,}646715}{0{,}970653}\approx 0{,}666657.
Agora
-\ln x = -\ln(0{,}666657)\approx 0{,}405420,
1-C_r = 1-0{,}083176 = 0{,}916824,
NTU = \frac{0{,}405420}{0{,}916824}\approx 0{,}442513.
Interpretação: NTU é pequeno (<1), o que indica que a resistência térmica de superfície / área não é muito grande comparada à capacidade térmica mínima.

Passo 8

Determinar a área de troca A a partir de NTU.
Recordando
NTU=\frac{U\,A}{C_{\min}}\quad\Rightarrow\quad A=\frac{NTU\; C_{\min}}{U}.
Substituindo números:
A=\frac{0{,}442513\cdot 1045}{950}\\ \mathrm{m^2}.
Calcule passo a passo:
0{,}442513\cdot 1045 \approx 462{,}026\\ (\mathrm{W/^\circ C}),
A \approx \frac{462{,}026}{950} \approx 0{,}486338\\ \mathrm{m^2}.
Arredondando para três algarismos significativos, A\approx 0{,}486\\ \mathrm{m^2}.

Passo 9

Verificação rápida (temperatura de saída do lado quente) — checagem de consistência.
Como verificação, podemos calcular T_{h,out} por balanço de energia:
\dot Q = C_h\,(T_{h,in}-T_{h,out}) \Rightarrow T_{h,out}=T_{h,in}-\frac{\dot Q}{C_h}.
Substituindo:
T_{h,out}=100^\circ\mathrm{C}-\frac{31350}{12570}\approx 100^\circ\mathrm{C}-2{,}495^\circ\mathrm{C}\approx 97{,}505^\circ\mathrm{C}.
Isso faz sentido fisicamente: o fluido quente tem muito maior capacidade térmica e sua temperatura cai pouco.

Resposta

\dot Q=31350\\ \mathrm{W}
A=0,486\\ \mathrm{m^2}

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