Numa determinada atividade usa-se um tubo de ferro fundido novo para transportar ar ( \mathrm{V}=75 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ) nas condições padrões \left(\mathrm{T}=15^{\circ} \mathrm{C}\right). O tubo tem diâmetro de 6,1 \mathrm{~mm}. Utilizando os conceitos de fator de atrito, determine: a) perda de pressão num trecho de 850 mm considerando o escoamento como laminar; b) perda de pressão para o escoamento turbulento; c) determine as perdas de cargas para os casos (a) e (b).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades indicadas. Dados fornecidos:
V=75\\ \mathrm{m/s}
T=15^\circ\mathrm{C}
d=6{,}1\\ \mathrm{mm}=0{,}0061\\ \mathrm{m}
L=850\\ \mathrm{mm}=0{,}85\\ \mathrm{m}
O enunciado pede:
(a) a perda de pressão no trecho de L=0{,}85\\ \mathrm{m} supondo escoamento laminar;
(b) a perda de pressão no mesmo trecho para escoamento turbulento;
(c) as perdas de carga (em metros de coluna de fluido) correspondentes aos casos (a) e (b).
Observação importante: o enunciado não fornece a rugosidade absoluta do tubo. Como o tubo é de ferro fundido novo, vou adotar a rugosidade típica de tubulação de ferro fundido novo
\varepsilon=0{,}26\\ \mathrm{mm}=2{,}6\times10^{-4}\\ \mathrm{m},
valor padrão de tabelas de engenharia (estou assumindo este valor porque o enunciado não especificou).

Passo 2

Precisamos das propriedades do ar em T=15^\circ\mathrm{C} (condições padrão). Valores típicos (tabelas):
densidade do ar:
\rho=1{,}225\\ \mathrm{kg/m^3}
viscosidade dinâmica:
\mu=1{,}81\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}
viscosidade cinemática:
\nu=\frac{\mu}{\rho}= \frac{1{,}81\times10^{-5}}{1{,}225}=1{,}478\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
Explicação curta: \rho é massa por volume do ar; \mu mede “resistência interna” (arrasto viscoso); \nu é a razão \mu/\rho e aparece no número de Reynolds.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds para verificar o regime de escoamento. Fórmula:
\mathrm{Re}=\frac{V d}{\nu}.
Substituindo:
\mathrm{Re}=\frac{75\cdot 0{,}0061}{1{,}478\times10^{-5}} \approx 3{,}0954\times10^{4}.
Interpretação: \mathrm{Re}\approx3{,}1\times10^{4} é bem maior que 2300, portanto o escoamento é naturalmente turbulento. Mesmo assim, o item (a) pede que se calcule como se fosse laminar — faremos esse cálculo seguindo a fórmula laminar pedida, mas mantenha em mente que fisicamente o escoamento real é turbulento.

Passo 4

Fator de atrito no caso laminar. Para escoamento laminar em tubo circular usa-se a relação:
f=\frac{64}{\mathrm{Re}}.
Explicando a fórmula: f é o fator de atrito de Darcy (adiimensional) que relaciona perda por atrito com a energia dinâmica do escoamento. Aplicando:
f_{\text{lam}}=\frac{64}{3{,}0954\times10^{4}}=2{,}067\times10^{-3}.

Passo 5

Perda de pressão pelo método de Darcy–Weisbach (explicando a fórmula):
\Delta p = f\,\frac{L}{d}\,\frac{\rho V^{2}}{2}.
Aqui \Delta p é a perda de pressão (Pa), f o fator de atrito, L/d o comprimento adimensional, e \rho V^{2}/2 a pressão dinâmica. Calculando para o caso laminar:
primeiro a pressão dinâmica
\frac{\rho V^{2}}{2}= \frac{1{,}225\cdot 75^{2}}{2}=3{,}445{,}3125\\ \mathrm{Pa}.
o quociente L/d:
\frac{L}{d}=\frac{0{,}85}{0{,}0061}=139{,}344\dots
agora a perda de pressão:
\Delta p_{\text{lam}}=2{,}067\times10^{-3}\cdot 139{,}344\cdot 3{,}445{,}3125 \approx 992{,}3\\ \mathrm{Pa}.
Perda de carga (em metros de coluna de fluido) relaciona-se por \Delta p=\rho g h, então
h_{\text{lam}}=\frac{\Delta p_{\text{lam}}}{\rho g}=\frac{992{,}3}{1{,}225\cdot 9{,}81}\approx 82{,}6\\ \mathrm{m}.
Explicação: h é a energia por unidade de peso perdida pelo escoamento, expressa em metros de fluido.

Passo 6

Fator de atrito no caso turbulento. Para escoamento turbulento em tubos rugosos usamos equações que dependem de \mathrm{Re} e da rugosidade relativa \varepsilon/d. Uma fórmula explícita boa e prática é a fórmula de Swamee–Jain:
f=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7d}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{2}}.
Explicação: a expressão dentro do log junta o efeito da rugosidade relativa \varepsilon/d e do número de Reynolds; o log10 aparece porque a dependência é aproximadamente logarítmica.
Calculemos os termos:
\frac{\varepsilon}{3{,}7d}=\frac{2{,}6\times10^{-4}}{3{,}7\cdot 0{,}0061}\approx 0{,}01152,
\mathrm{Re}^{0{,}9}\approx(3{,}0954\times10^{4})^{0{,}9}\approx 1{,}1003\times10^{4},
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx 5{,}74/1{,}1003\times10^{4}=5,217\times10^{-4}.
Somando:
\frac{\varepsilon}{3{,}7d}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx 0{,}012042.
Agora o fator f:
f_{\text{turb}}=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}(0{,}012042)\right]^{2}}=\frac{0{,}25}{(-1{,}91968)^{2}}\approx 6{,}7876\times10^{-2}.
Portanto f_{\text{turb}}\approx 0{,}06788.

Passo 7

Calcular perda de pressão e perda de carga no caso turbulento usando novamente Darcy–Weisbach. Repetindo:
\Delta p_{\text{turb}}=f_{\text{turb}}\cdot\frac{L}{d}\cdot\frac{\rho V^{2}}{2}.
Substituindo números:
\Delta p_{\text{turb}}=0{,}067876\cdot 139{,}344\cdot 3{,}445{,}3125\approx 3{,}2596\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
Perda de carga (metros de coluna de ar):
h_{\text{turb}}=\frac{\Delta p_{\text{turb}}}{\rho g}=\frac{3{,}2596\times10^{4}}{1{,}225\cdot 9{,}81}\approx 2{,}713\times10^{3}\\ \mathrm{m}.
Interpretação final: os valores são muito grandes porque a velocidade é alta e o diâmetro é muito pequeno; isso leva a grandes perdas por atrito. Repare também que o número de Reynolds indica que o escoamento real é turbulento — o cálculo laminar foi feito apenas porque o enunciado pediu esse caso hipotético.

Resposta

(a) \Delta p_{\text{lam}}\approx 9,92\times10^{2}\\ \mathrm{Pa}
(b) \Delta p_{\text{turb}}\approx 3,26\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}
(c) perda de carga caso (a): h_{\text{lam}}\approx 8,26\times10^{1}\\ \mathrm{m}; caso (b): h_{\text{turb}}\approx 2,71\times10^{3}\\ \mathrm{m}

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