Um fluido de processo, com calor específico de 3500 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}) e escoando a 2 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, deve ser resfriado de 80^{\circ} \mathrm{C} a 50^{\circ} \mathrm{C} com água gelada, que é fornecida a uma temperatura de 15^{\circ} \mathrm{C} e a uma vazão de 2,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Considerando um coeficiente global de transferência de calor igual a 2000 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} 2 \cdot \mathrm{~K}), calcule as áreas de transferência de calor necessárias para as seguintes configurações de trocadores de calor:
(b) escoamento contracorrente

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (vou listar tudo com clareza):
  • Fluido de processo (quente): calor específico \,c_{h}=3500\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}).
  • Vazão mássica do fluido quente: \dot{m}_{h}=2\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}.
  • Temperatura de entrada do fluido quente: \,T_{h,\mathrm{in}}=80^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura de saída desejada do fluido quente: \,T_{h,\mathrm{out}}=50^{\circ}\mathrm{C}.
  • Fluido frio: água fornecida a \,T_{c,\mathrm{in}}=15^{\circ}\mathrm{C}.
  • Vazão mássica da água: \dot{m}_{c}=2{,}5\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}.
  • Coeficiente global de transferência de calor: \,U=2000\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}).
  • Pedido: calcular a área de troca térmica necessária para a configuração contracorrente.
Observação importante: o enunciado não deu o calor específico da água. Vou assumir o valor padrão para água líquida à temperatura ambiente,
\,c_{c}=4180\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}).
Se preferires outro valor para c_{c}, avisa, que eu refaço as contas — por enquanto sigo com 4180 porque é o valor usual.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a taxa de calor necessária para resfriar o fluido quente. A ideia física é: o calor perdido pelo fluido quente é ganho pela água (estado estacionário, sem acumulação de energia). A expressão básica é:
\dot{Q}=\dot{m}_{h}\,c_{h}\,(T_{h,\mathrm{in}}-T_{h,\mathrm{out}}).
Explicando cada símbolo:
  • \dot{Q} é a potência térmica transferida (em W).
  • \dot{m}_{h} é a vazão mássica do fluido quente (kg/s).
  • c_{h} é o calor específico do fluido quente (J/kg·K).
  • T_{h,\mathrm{in}} e T_{h,\mathrm{out}} são as temperaturas entrada/saída do quente (°C ou K — diferença de temperatura é a mesma).
Agora calculo numericamente:
\dot{Q}=\;2\cdot 3500\cdot(80-50)\\ \mathrm{W}.
Faço as contas passo a passo:
80-50=30,
3500\cdot 30=105000,
2\cdot 105000=210000.
Logo
\dot{Q}=210000\\ \mathrm{W}=210\\ \mathrm{kW}.

Passo 3

Com \dot{Q} conhecido, podemos achar a temperatura de saída da água ( T_{c,\mathrm{out}}) usando o balanço energético para o fluido frio:
\dot{Q}=\dot{m}_{c}\,c_{c}\,(T_{c,\mathrm{out}}-T_{c,\mathrm{in}}).
Isolando T_{c,\mathrm{out}}:
T_{c,\mathrm{out}}=T_{c,\mathrm{in}}+\frac{\dot{Q}}{\dot{m}_{c}\,c_{c}}.
Substituindo os números (lembre-se que usei c_{c}=4180\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K})):
T_{c,\mathrm{out}}=15+\frac{210000}{2{,}5\cdot 4180}\\ {}^{\circ}\mathrm{C}.
Calculemos o denominador:
2{,}5\cdot 4180=10450.
Agora a divisão:
\frac{210000}{10450}\approx 20{,}096.
Portanto
T_{c,\mathrm{out}}\approx 15+20{,}096=35{,}096\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Arredondando de forma prática:
T_{c,\mathrm{out}}\approx 35{,}10\\ ^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 4

Agora aplicamos o método do LMTD (Log Mean Temperature Difference) para trocador contracorrente. Explico o raciocínio:
Para um trocador com coeficiente global U e área A constante, a potência térmica também é dada por
\dot{Q}=U\,A\,\Delta T_{\mathrm{lm}},
onde \Delta T_{\mathrm{lm}} é a diferença de temperatura logarítmica média entre as correntes. Para contracorrente as diferenças de temperatura nas duas extremidades são:
\Delta T_{1}=T_{h,\mathrm{in}}-T_{c,\mathrm{out}}, \qquad \Delta T_{2}=T_{h,\mathrm{out}}-T_{c,\mathrm{in}}.
A LMTD é definida por
\Delta T_{\mathrm{lm}}=\frac{\Delta T_{1}-\Delta T_{2}}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_{1}}{\Delta T_{2}}\right)}.
Breve explicação didática: \Delta T_{1} e \Delta T_{2} são as diferenças de temperatura entre as correntes nas duas extremidades do trocador; a média logarítmica surge quando integra-se a equação diferencial de balanço térmico ao longo do comprimento assumindo U constante. É a média correta para variações exponenciais de temperatura.

Passo 5

Calculo agora \Delta T_{1} e \Delta T_{2} usando os valores que já temos:
\Delta T_{1}=T_{h,\mathrm{in}}-T_{c,\mathrm{out}}=80-35{,}096=44{,}904\\ ^{\circ}\mathrm{C},
\Delta T_{2}=T_{h,\mathrm{out}}-T_{c,\mathrm{in}}=50-15=35\\ ^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 6

Calculo a LMTD:
\Delta T_{\mathrm{lm}}=\frac{44{,}904-35}{\ln\!\left(\dfrac{44{,}904}{35}\right)}=\frac{9{,}904}{\ln(1{,}283)}.
Calculemos o logaritmo:
\ln(1{,}283)\approx 0{,}249.
Logo
\Delta T_{\mathrm{lm}}\approx\frac{9{,}904}{0{,}249}\approx 39{,}8\\ ^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 7

Finalmente, uso \dot{Q}=U\,A\,\Delta T_{\mathrm{lm}} para obter a área A:
A=\frac{\dot{Q}}{U\,\Delta T_{\mathrm{lm}}}.
Substituindo valores:
A=\frac{210000}{2000\cdot 39{,}8}\\ \mathrm{m}^2.
Calculo:
2000\cdot 39{,}8=79560,
A=\frac{210000}{79560}\approx 2{,}64\\ \mathrm{m}^2.

Passo 8

Resumo e checagem rápida: a potência calculada (210 kW) faz sentido para a queda de 30\\ ^\circ\mathrm{C} com c_{h}=3500 e \dot{m}_{h}=2\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}. A água, com maior capacidade térmica por kg, aquece de 15 para cerca de 35{,}1\\ ^\circ\mathrm{C} — também razoável. A área obtida \approx 2{,}64\\ \mathrm{m}^2 é um valor prático para um trocador deste porte. Se quiser, eu refaço as contas usando outro valor de c_{c} (por exemplo 4200 ou considerando variação de U).

Resposta

A\approx 2{,}64\\ \mathrm{m}^2

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