7- Uma planta de potência geotérmica utiliza água subterrânea de grande profundidade, sob pressão, a T_{G}=147^{\circ} \mathrm{C} como a fonte de calor para um ciclo Rankine orgânico. Um evaporador, constituído por um trocador de calor casco e tubos, verticalmente posicionado, com um passe no casco e um passe nos tubos, transfere energia entre a água subterrânea, passando pelos tubos, e o fluido orgânico do ciclo de potência, escoando pelo casco, em uma configuração contracorrente. O fluido orgânico entra no casco do evaporador como um líquido sub-resfriado a T_{f, \text { ent }}=27^{\circ} \mathrm{C} e deixa o evaporador como um vapor saturado, com qualidade X_{R, \text { sai }}=1 \mathrm{e} temperatura T_{f, \text { sai }}= T_{\text {sat }}=122^{\circ} \mathrm{C}. No interior do evaporador, há transferência de calor entre a água subterrânea líquida e o fluido orgânico no Estágio A com \mathrm{UA}=900 \mathrm{W} /(\mathrm{m} 2 \cdot \mathrm{~K}), e entre a água subterrânea líquida e o fluido orgânico em
ebulição no Estágio B com \mathrm{UB}=1200 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} 2 \cdot \mathrm{~K}). Para vazões da água subterrânea e do fluido orgânico de \dot{\mathrm{m}}_{G}=10 \frac{\mathrm{~kg}}{\mathrm{~s}} \mathrm{e} \quad \dot{\mathrm{m}}_{R}=5,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, respectivamente, determine a área da superfície de transferência de calor requerida do evaporador. O calor específico do fluido orgânico líquido do ciclo Rankine é \mathrm{cp}, \mathrm{R}=1300 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}) e seu calor latente de vaporização é h_{f g}=110 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar a área total de superfície de troca térmica requerida do evaporador (área do Estágio A mais área do Estágio B).
Informações dadas (peguei estes dados do enunciado e da figura):
  • Vazão mássica da água geotérmica: \dot{m}_{G}=10\\ \mathrm{kg/s}.
  • Temperatura da água geotérmica na entrada do evaporador: T_{G,\text{ent}}=147^\circ\mathrm{C}.
  • Vazão mássica do fluido orgânico: \dot{m}_{R}=5{,}2\\ \mathrm{kg/s}.
  • Temperatura do fluido orgânico na entrada do evaporador (sub-resfriado): T_{f,\text{ent}}=27^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de saturação (saída do evaporador): T_{f,\text{sai}}=T_{\text{sat}}=122^\circ\mathrm{C}.
  • Qualidade do fluido orgânico na entrada do evaporador: X_{R,\text{ent}}=0.
  • Qualidade do fluido orgânico na saída do evaporador: X_{R,\text{sai}}=1.
  • Calor específico do fluido orgânico (líquido): c_{p,R}=1300\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Calor latente de vaporização do fluido orgânico: h_{fg}=110\\ \mathrm{kJ/kg}=110000\\ \mathrm{J/kg}.
  • Coeficiente global de transmissão térmica (valor de U) no Estágio A: U_A=900\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Coeficiente global de transmissão térmica no Estágio B: U_B=1200\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Observação necessária (dados não fornecidos no enunciado):
  • Para a água geotérmica foi necessário assumir um calor específico. Vou usar o valor típico para água líquida: c_{p,G}=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. Esta é uma aproximação usual quando o enunciado não fornece c_{p} da água.

Passo 2

Cálculo do calor total que o fluido orgânico precisa receber no evaporador.
  • O aquecimento do fluido orgânico tem duas partes:
    1. aquecimento sensível do líquido de 27^\circ\mathrm{C} até a temperatura de saturação 122^\circ\mathrm{C} (Estágio A);
    2. vaporização (calor latente) a 122^\circ\mathrm{C} (Estágio B).
Fórmula para a taxa de calor sensível:
\dot{Q}_A=\dot{m}_R\,c_{p,R}\,(T_{f,\text{sai}}-T_{f,\text{ent}})
Substituindo:
\dot{Q}_A=5{,}2\cdot 1300\cdot(122-27)\\ \mathrm{J/s}.
Calculemos passo a passo:
122-27=95,
c_{p,R}\cdot (122-27)=1300\cdot 95=123500\\ \mathrm{J/kg},
\dot{Q}_A=5{,}2\cdot 123500=642200\\ \mathrm{W}.
Fórmula para a taxa de calor latente:
\dot{Q}_B=\dot{m}_R\;h_{fg}.
Substituindo:
\dot{Q}_B=5{,}2\cdot 110000=572000\\ \mathrm{W}.
Calor total requerido:
\dot{Q}_{\text{total}}=\dot{Q}_A+\dot{Q}_B=642200+572000=1214200\\ \mathrm{W}.

Passo 3

Balanço de energia na água geotérmica por estágio — determinar temperaturas intermediárias da água.
  • A água geotérmica remove \dot{Q}_B no Estágio B (ebulição do fluido orgânico) e \dot{Q}_A no Estágio A (aquecimento sensível).
  • Usando balanço energético por estágio para a água:
\dot{Q}_B=\dot{m}_G\,c_{p,G}\,(\,T_{G,\text{ent}}-T_{G,\text{meio}}\,),
\dot{Q}_A=\dot{m}_G\,c_{p,G}\,(\,T_{G,\text{meio}}-T_{G,\text{sai}}\,).
Calcule a queda de temperatura da água no Estágio B:
\Delta T_{G,B}=\frac{\dot{Q}_B}{\dot{m}_G\,c_{p,G}}=\frac{572000}{10\cdot 4180}= \frac{572000}{41800}=13{,}6778\\ ^\circ\mathrm{C}.
Portanto a temperatura da água após o Estágio B (entrada do Estágio A) é
T_{G,\text{meio}}=T_{G,\text{ent}}-\Delta T_{G,B}=147-13{,}6778=133{,}3222^\circ\mathrm{C}.
Calcule a queda de temperatura da água no Estágio A:
\Delta T_{G,A}=\frac{\dot{Q}_A}{\dot{m}_G\,c_{p,G}}=\frac{642200}{10\cdot 4180}=\frac{642200}{41800}=15{,}3632\\ ^\circ\mathrm{C}.
Temperatura de saída da água:
T_{G,\text{sai}}=T_{G,\text{meio}}-\Delta T_{G,A}=133{,}3222-15{,}3632=117{,}9590^\circ\mathrm{C}.
Resumo das temperaturas da água (para usar no cálculo das diferenças de temperatura):
  • T_{G,\text{ent}}=147^\circ\mathrm{C}.
  • T_{G,\text{meio}}=133{,}3222^\circ\mathrm{C}.
  • T_{G,\text{sai}}=117{,}9590^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Determinar as diferenças de temperatura nas extremidades de cada estágio e calcular o Log Mean Temperature Difference (LMTD) para cada estágio.
Lembrete da fórmula do LMTD para um trocador de calor em contracorrente:
\Delta T_{lm}=\frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)},
onde \Delta T_1 e \Delta T_2 são as diferenças de temperatura nos dois extremos do trocador (sempre positivas).
Estágio A (região líquida): o fluido orgânico sobe de 27^\circ\mathrm{C} até 122^\circ\mathrm{C}; a água entra no topo do Estágio A a T_{G,\text{meio}}=133{,}3222^\circ\mathrm{C} e sai do fundo do Estágio A a T_{G,\text{sai}}=117{,}9590^\circ\mathrm{C}.
  • Diferença no topo do estágio (água quente entrando vs. fluido orgânico saindo):
\Delta T_{\text{A,top}}=T_{G,\text{meio}}-T_{f,\text{out}}=133{,}3222-122=11{,}3222^\circ\mathrm{C}.
  • Diferença no fundo do estágio (água fria saindo vs. fluido orgânico entrando):
\Delta T_{\text{A,bottom}}=T_{G,\text{sai}}-T_{f,\text{in}}=117{,}9590-27=90{,}9590^\circ\mathrm{C}.
  • LMTD do Estágio A:
\Delta T_{lm,A}=\frac{90{,}9590-11{,}3222}{\ln\!\left(\dfrac{90{,}9590}{11{,}3222}\right)}=38{,}23^\circ\mathrm{C}\\ (\text{aprox.}).
Estágio B (região de ebulição): o fluido orgânico está a temperatura constante T_{f}=122^\circ\mathrm{C}; a água entra neste estágio a T_{G,\text{ent}}=147^\circ\mathrm{C} e sai para o Estágio A a T_{G,\text{meio}}=133{,}3222^\circ\mathrm{C}.
  • Diferença na extremidade onde a água entra:
\Delta T_{\text{B,hot}}=T_{G,\text{ent}}-T_{f}=147-122=25^\circ\mathrm{C}.
  • Diferença na extremidade onde a água sai para o Estágio A:
\Delta T_{\text{B,cold}}=T_{G,\text{meio}}-T_{f}=133{,}3222-122=11{,}3222^\circ\mathrm{C}.
  • LMTD do Estágio B:
\Delta T_{lm,B}=\frac{25-11{,}3222}{\ln\!\left(\dfrac{25}{11{,}3222}\right)}=17{,}27^\circ\mathrm{C}\\ (\text{aprox.}).
(Nos cálculos acima os valores numéricos foram mantidos com casas suficientes; os resultados finais estão arredondados quando indicado.)

Passo 5

Cálculo da área necessária em cada estágio usando a relação de transmissão de calor:
\dot{Q}=U\;A\;\Delta T_{lm}\quad\Longrightarrow\quad A=\frac{\dot{Q}}{U\,\Delta T_{lm}}.
Estágio A:
A_A=\frac{\dot{Q}_A}{U_A\,\Delta T_{lm,A}}=\frac{642200}{900\cdot 38{,}23}=\frac{642200}{34409{,}7}=18{,}67\\ \mathrm{m^2}.
Estágio B:
A_B=\frac{\dot{Q}_B}{U_B\,\Delta T_{lm,B}}=\frac{572000}{1200\cdot 17{,}27}=\frac{572000}{20724}=27{,}61\\ \mathrm{m^2}.
Área total do evaporador:
A_{\text{total}}=A_A+A_B=18{,}67+27{,}61=46{,}28\\ \mathrm{m^2}.
(Arredondei o resultado final para duas casas decimais.)

Resposta

A_{\text{total}}=46{,}28\\ \mathrm{m^2}

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