Um fluido de processo, com calor específico de 3500 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}) e escoando a 4 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, deve ser resfriado de 80^{\circ} \mathrm{C} a 40^{\circ} \mathrm{C} com água gelada, que é fornecida a uma temperatura de 10^{\circ} \mathrm{C} e a uma vazão de 5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Considerando um coeficiente global de transferência de calor igual a 2000 \mathrm{W} /(\mathrm{m} 2 \cdot \mathrm{~K}), calcule as áreas de transferência de calor necessárias para as seguintes configurações de trocadores de calor:
(a) escoamento paralelo

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo claramente, sem pular etapas):
  • Calor específico do fluido de processo: c_{p,h}=3500\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Vazão mássica do fluido de processo: \dot m_h=4\\ \mathrm{kg/s}.
  • Temperatura do fluido de processo: entra a T_{h,\mathrm{in}}=80^{\circ}\mathrm{C} e sai a T_{h,\mathrm{out}}=40^{\circ}\mathrm{C}.
  • Água gelada (fluido frio) entra a T_{c,\mathrm{in}}=10^{\circ}\mathrm{C} com vazão mássica \dot m_c=5\\ \mathrm{kg/s}.
  • Coeficiente global de transferência de calor: U=2000\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Pedido: calcular a área de troca térmica necessária para um trocador em escoamento paralelo (apenas a configuração (a)).
Observação importante que o enunciado não especificou: o calor específico da água. Vou assumir o valor típico
c_{p,c}=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Se preferir outro valor, o mesmo procedimento vale; basta trocar esse número nos cálculos.

Passo 2

Calcular a taxa de calor (potência térmica) transferida Q usando o balanço de energia no fluido quente. Fórmula e explicação:
  • A fórmula de transferência de calor por um fluido que muda de temperatura é
Q=\dot m\, c_p\,(T_{\text{entrada}}-T_{\text{saída}}),í
onde \dot m é a vazão mássica (kg/s), c_p é o calor específico (J/kg·K) e as temperaturas estão em kelvin ou graus Celsius (diferenças são iguais).
Aplicando ao fluido quente:
Q=\dot m_h\, c_{p,h}\,(T_{h,\mathrm{in}}-T_{h,\mathrm{out}}).
Substituindo os valores:
Q=4\cdot3500\cdot(80-40)\\ \mathrm{J/s}.
Calcule passo a passo:
80-40=40,
4\cdot3500=14000,
Q=14000\cdot40=560000\\ \mathrm{W}.
Portanto \;Q=560000\\ \mathrm{W} (ou 5,6\times10^{5}\\ \mathrm{W}).

Passo 3

Determinar a temperatura de saída do fluido frio usando o balanço de energia para ele:
Q=\dot m_c\, c_{p,c}\,(T_{c,\mathrm{out}}-T_{c,\mathrm{in}}).
Isolando T_{c,\mathrm{out}}:
T_{c,\mathrm{out}}=T_{c,\mathrm{in}}+\frac{Q}{\dot m_c\, c_{p,c}}.
Substituindo Q e os valores (usei c_{p,c}=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}):
T_{c,\mathrm{out}}=10+\frac{560000}{5\cdot4180}\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Calcule:
5\cdot4180=20900,
\frac{560000}{20900}\approx26,79,
T_{c,\mathrm{out}}\approx10+26,79=36,79\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Logo \;T_{c,\mathrm{out}}\approx36,79^{\circ}\mathrm{C}.
Observação física (rapidinha): como a água saiu a 36,79^{\circ}\mathrm{C} e o fluido quente saiu a 40^{\circ}\mathrm{C}, a diferença de temperatura final entre os dois fluxos é pequena — isso é típico de trocadores em paralelo, que têm menor eficiência térmica comparados a contracorrente.

Passo 4

Calcular as diferenças de temperatura na entrada e na saída para uso no LMTD (Log Mean Temperature Difference). Para escoamento paralelo:
  • \Delta T_1 é a diferença de temperaturas nas entradas (ponta quente menos ponta fria):
\Delta T_1 = T_{h,\mathrm{in}}-T_{c,\mathrm{in}}.
  • \Delta T_2 é a diferença de temperaturas nas saídas:
\Delta T_2 = T_{h,\mathrm{out}}-T_{c,\mathrm{out}}.
Substituindo números:
\Delta T_1 = 80-10=70\\ ^{\circ}\mathrm{C},
\Delta T_2 = 40-36,79=3,21\\ ^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 5

Usar a definição de LMTD (diferença de temperatura média logarítmica). Explicação rápida e fórmula:
  • O LMTD é uma média ponderada que representa a diferença média de temperatura entre os dois fluidos ao longo do trocador quando a diferença varia exponencialmente; é apropriado para cálculos de área em trocadores com coeficiente constante.
  • A fórmula é
\Delta T_{\mathrm{lm}}=\frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}.
Substituindo \Delta T_1=70 e \Delta T_2=3,21:
\Delta T_{\mathrm{lm}}=\frac{70-3,21}{\ln\!\left(\dfrac{70}{3,21}\right)}.
Calcule passo a passo:
70-3,21=66,79,
\frac{70}{3,21}\approx21,82,
\ln(21,82)\approx3,083,
\Delta T_{\mathrm{lm}}\approx\frac{66,79}{3,083}\approx21,66\\ ^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 6

Calcular a área necessária usando a equação de transferência de calor para trocadores:
Q=U\,A\,\Delta T_{\mathrm{lm}},
onde A é a área (m²). Isolando A:
A=\frac{Q}{U\,\Delta T_{\mathrm{lm}}}.
Substituindo os valores:
A=\frac{560000}{2000\cdot21,66}\\ \mathrm{m^2}.
Calcule:
2000\cdot21,66=43320,
A\approx\frac{560000}{43320}\approx12,94\\ \mathrm{m^2}.
Interpretação curta: para esse par de vazões e temperaturas, um trocador em paralelo precisa de uma área relativamente grande ( \approx12,94\\ \mathrm{m^2}) porque a diferença terminal de temperatura é pequena ( \Delta T_2 é pequena), reduzindo a média logarítmica.

Resposta

(a) A\approx12,94\\ \mathrm{m^2}

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