Um fluido de processo, com calor específico de 3500 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}) e escoando a 4 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, deve ser resfriado de 80^{\circ} \mathrm{C} a 40^{\circ} \mathrm{C} com água gelada, que é fornecida a uma temperatura de 10^{\circ} \mathrm{C} e a uma vazão de 5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Considerando um coeficiente global de transferência de calor igual a 2000 \mathrm{W} /(\mathrm{m} 2 \cdot \mathrm{~K}), calcule as áreas de transferência de calor necessárias para as seguintes configurações de trocadores de calor:
(b) escoamento contracorrente

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • O enunciado pede: calcular a área de transferência de calor necessária para um trocador em escoamento contracorrente.
  • Dados fornecidos:
    • Fluido de processo (lado quente):
      • c_{p,h}=3500\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} (calor específico)
      • \dot{m}_h=4\\ \mathrm{kg/s} (vazão mássica)
      • T_{h,in}=80^\circ\mathrm{C}
      • T_{h,out}=40^\circ\mathrm{C}
    • Água gelada (lado frio):
      • \dot{m}_c=5\\ \mathrm{kg/s}
      • T_{c,in}=10^\circ\mathrm{C}
      • T_{c,out} é desconhecida (vai ser calculada a partir do balanço de energia)
    • Coeficiente global de transferência de calor: U=2000\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Observação importante: o enunciado não informou o calor específico da água. Vou assumir o valor usual para água líquida em condições próximas a ambiente,
c_{p,c}=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},
pois sem esse dado não é possível obter a temperatura de saída da água nem a LMTD. Se você tiver outro valor para c_{p,c}, o procedimento é o mesmo, só muda o número final.

Passo 2

Calcular a taxa de calor transferida (potência térmica) usando o lado quente.
  • Conceito: a energia retirada do fluido quente por unidade de tempo é
\dot{Q}=\dot{m}_h\,c_{p,h}\,(T_{h,in}-T_{h,out}),
onde:
  • \dot{Q} é a potência térmica (W),
  • \dot{m}_h é a vazão mássica do fluido quente (kg/s),
  • c_{p,h} é o calor específico do fluido quente (J/(kg·K)),
  • T_{h,in} e T_{h,out} são as temperaturas de entrada e saída do fluido quente (K ou °C, a diferença é a mesma).
  • Cálculo numérico passo a passo:
    • Primeiro calcule c_{p,h}(T_{h,in}-T_{h,out}): 3500\cdot(80-40)=3500\cdot40=140000\\ \mathrm{J/kg}.
    • Multiplique pela vazão mássica \dot{m}_h=4\\ \mathrm{kg/s}: \dot{Q}=4\cdot140000=560000\\ \mathrm{W}.
Portanto, a taxa de calor a ser removida é \dot{Q}=560000\\ \mathrm{W} (ou 560\\ \mathrm{kW}).

Passo 3

Determinar a temperatura de saída da água fria usando o balanço de energia (lado frio).
  • Conceito: a mesma potência \dot{Q} é absorvida pelo fluido frio:
\dot{Q}=\dot{m}_c\,c_{p,c}\,(T_{c,out}-T_{c,in}).
Rearranjando para T_{c,out}:
T_{c,out}=T_{c,in}+\frac{\dot{Q}}{\dot{m}_c\,c_{p,c}}.
  • Substituindo os valores (usando c_{p,c}=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}):
    • Calcular o denominador: \dot{m}_c\,c_{p,c}=5\cdot4180=20900\\ \mathrm{J/(s\cdot K)}.
    • Calcular a elevação de temperatura da água: \frac{\dot{Q}}{\dot{m}_c\,c_{p,c}}=\frac{560000}{20900}\approx26,788\\ \mathrm{K}.
    • Portanto, T_{c,out}=10+26,788\approx36,788^\circ\mathrm{C}.
Arredondando convenientemente, T_{c,out}\approx36,79^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Verificação rápida de plausibilidade (checar se as temperaturas fazem sentido).
  • Para um trocador contracorrente é esperado que a água fria possa sair com temperatura menor que T_{h,in} e que o fluido quente possa sair com temperatura maior que T_{c,in}. Aqui:
    • T_{c,out}\approx36,79^\circ\mathrm{C}<T_{h,in}=80^\circ\mathrm{C} — ok.
    • T_{c,out}\approx36,79^\circ\mathrm{C}<T_{h,out}=40^\circ\mathrm{C} — a água saiu ligeiramente abaixo da temperatura de saída do fluido quente, o que é fisicamente possível em contracorrente. Tudo consistente.

Passo 5

Calcular a diferença média logarítmica de temperatura (LMTD) para escoamento contracorrente.
  • Conceito: para contracorrente definimos as duas diferenças de temperatura nas extremidades:
    • \Delta T_1 = T_{h,in}-T_{c,out} (diferença na entrada do fluido quente / saída do fluido frio)
    • \Delta T_2 = T_{h,out}-T_{c,in} (diferença na saída do fluido quente / entrada do fluido frio)
  • Fórmula da LMTD:
\Delta T_{lm}=\frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}.
Essa é a média logarítmica que representa a diferença de temperatura efetiva ao longo do trocador quando a variação é exponencial.
  • Cálculo numérico:
    • \Delta T_1 = 80-36,788=43,212^\circ\mathrm{C}.
    • \Delta T_2 = 40-10=30,0^\circ\mathrm{C}.
    • Razão: \dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}=\dfrac{43,212}{30}=1,4404.
    • Logaritmo: \ln(1,4404)\approx0,364643.
    • Numerador: \Delta T_1-\Delta T_2=43,212-30=13,212.
    • Logo \Delta T_{lm}=\frac{13,212}{0,364643}\approx36,255\\ \mathrm{K}.
Arredondando, \Delta T_{lm}\approx36,26\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Calcular a área de transferência de calor.
  • Conceito: a relação entre potência térmica, coeficiente global, área e LMTD é
\dot{Q}=U\,A\,\Delta T_{lm},
ou seja
A=\frac{\dot{Q}}{U\,\Delta T_{lm}}.
  • Substituindo os valores:
    • \dot{Q}=560000\\ \mathrm{W},
    • U=2000\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)},
    • \Delta T_{lm}\approx36,255\\ \mathrm{K}.
    Calcule o denominador: U\,\Delta T_{lm}=2000\cdot36,255=72510\\ \mathrm{W/m^2}.
    Então
    A=\frac{560000}{72510}\approx7,727\\ \mathrm{m^2}.
Arredondando com duas casas decimais, A\approx7,73\\ \mathrm{m^2}.

Resposta

A\approx7,73\\ \mathrm{m^2}

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