Uma turbina Pelton opera a 300 rpm , vazão de
e gera 6.825 kW . A velocidade tangencial do rotor é
da do jato e
. Determine:
a) os diâmetros do jato d’água e do rotor; 0,186 e
b) a velocidade absoluta da água na saída da pá;
c) as velocidades relativas do fluxo à entrada e saída da pá;
d) o esboço dos triângulos de velocidades na entrada e na saída.
a) os diâmetros do jato d’água e do rotor; 0,186 e
b) a velocidade absoluta da água na saída da pá;
c) as velocidades relativas do fluxo à entrada e saída da pá;
d) o esboço dos triângulos de velocidades na entrada e na saída.
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados (vou listar tudo com cuidado para não nos perder):
- Rotação da turbina:
. - Vazão total de água:
. - Potência elétrica (ou potência entregue ao eixo): vou tomar como
(é o valor que faz sentido físico com os demais números fornecidos). - A velocidade tangencial do rotor é
da velocidade do jato, ou seja , onde é a velocidade absoluta do jato na saída do bocal (velocidade do jato). - Ângulo dado:
. (No contexto de Pelton, usaremos para determinar a componente tangencial do escoamento de saída.) - Quer-se determinar:
(a) os diâmetros do jato e do rotor;
(b) a velocidade absoluta da água na saída da pá ();
(c) as velocidades relativas do escoamento à entrada e à saída da pá (magnitudes dee );
(d) esboço (descrição) dos triângulos de velocidades na entrada e na saída.
Observações importantes que usarei na resolução:
- Densidade da água:
(valor padrão). - Relações que vamos usar (explicarei cada uma nos passos seguintes):
- Energia cinética removida por unidade de massa entre jato e saída:
. A potência disponível (ideal) relaciona-se a isso por . - A potência também pode ser expressa pelo torque/velocidade tangencial: a potência extraída é o produto de
pela variação da componente tangencial da velocidade vezes a velocidade tangencial do rotor: . Para o caso simétrico de um jato que se divide em dois fluxos de saída com ângulo simétrico, a componente tangencial total na saída é (o sinal depende do sentido; usaremos a convenção que leva à equação usada adiante). - A velocidade tangencial do rotor é
com ; o diâmetro do rotor é . - Área do jato
e diâmetro do jato .
- Energia cinética removida por unidade de massa entre jato e saída:
A partir daqui começo a usar as fórmulas e a resolver passo a passo.
Passo 2
Cálculo da velocidade angular e relação entre
,
e o raio do rotor.
- Primeiro, converto
para rad/s:
- A relação entre
e é dada no enunciado:
- Como
, o raio do rotor é
- O diâmetro do rotor será
Portanto, se determinarmos
já podemos obter
.
Passo 3
Equações fundamentais: balanço de energia cinética (potência) e balanço de momento tangencial (potência via torque).
Vou explicar cada uma de forma didática.
Vou explicar cada uma de forma didática.
- Balanço de energia cinética (taxa de variação da energia cinética do escoamento):
- A energia cinética por unidade de massa de um fluido com velocidade
é . - A água entra com velocidade
(no bocal) e sai do conjunto pá+saída com velocidade absoluta . A taxa de energia cinética retirada do fluido é . - Em regime estacionário e desprezando perdas internas, essa taxa é a potência extraída:
Essa é uma forma direta e intuitiva: o que sai a menos de energia cinética é o que foi convertido em trabalho (mecânico).
- Balanço de momento/impulso tangencial (relação potência-torque):
- A potência também é dada por
. O momento de força (torque) é dado pela taxa de variação da componente tangencial do momento linear do fluido multiplicada pelo raio . - Para um jato que incide e sai dividindo-se em dois fluxos simétricos, a componente tangencial total do escoamento de saída é
(o sinal negativo indica que a componente tangencial de saída fica no sentido oposto ao do jato inicial; o módulo é ). A componente tangencial da entrada é (no sentido positivo considerado). - A variação total da componente tangencial por unidade de tempo é
. - Multiplicando pela velocidade tangencial
obtemos a potência:
Importante: há duas formas de escrever a equação da potência (energia e momento). Vamos usar ambas simultaneamente para obter
e
. Observação: o sinal no termo com
vem da orientação das componentes tangenciais; a versão apresentada é a que corresponde ao comportamento físico (saída com componente tangencial oposta), e é compatível com os resultados numéricos esperados.
Passo 4
Substituo
e
nas equações e obtenho um sistema em
e
.
- Primeiro,
. - Equação da energia:
- Equação do momento (com
):
Agora igualo as duas expressões de
; para simplificar cancelo o fator
(não nulo) e escrevo:
Multiplico por 2 para ficar sem frações:
Coloco tudo num lado e divido por
(introduzindo
, a razão entre velocidades de saída e do jato):
Rearranjo para obter uma equação quadrática em
:
Calculo os coeficientes numéricos:
A quadrática fica
Resolvo (fórmula de Bhaskara):
Escolho a raiz positiva fisicamente relevante:
Portanto
Passo 5
Com
em mãos uso a equação de energia para obter
.
A equação de energia dá:
Isolando
:
Agora substituo números:
Logo
Com isso:
Observação: esses valores vêm diretamente do sistema energia + momento com as hipóteses adotadas (saída com componente tangencial oposta e fração tangencial dada por
). Em muitos textos as fórmulas podem ser escritas com sinais e convenções ligeiramente diferentes; o procedimento (usar as duas equações) é o ponto importante. A seguir uso as velocidades para obter diâmetros e velocidades relativas.
Passo 6
Cálculo do diâmetro do jato
e do diâmetro do rotor
.
- Diâmetro do jato:
- Área do jato
.
- Portanto
Arredondando conforme enunciado:
. (O enunciado apresentou
; diferenças pequenas surgem por aproximações e convenções numéricas.)
- Diâmetro do rotor:
- Primeiro calcule
:
- Raio
:
- Diâmetro do rotor:
Arredondando:
. (O enunciado dá
; novamente, pequenas diferenças numéricas podem vir de arredondamentos e da forma como se aplica
nas componentes. O procedimento é o mesmo.)
Passo 7
Cálculo das velocidades relativas do fluxo na entrada e na saída da pá e verificação da condição W1=W2.
Definição e interpretação:
- Velocidade relativa na entrada (em módulo):
Na convenção usada (jet e rotor no mesmo sentido antes da interação), a componente escalar dá
.
- Como no modelo ideal sem perdas a magnitude da velocidade relativa não muda ao redor da superfície interna da pá (só muda a direção), temos
em módulo.
Cálculo numérico:
Logo
No enunciado as velocidades relativas aparecem como
— valor muito próximo (diferença explicável por pequenas diferenças de arredondamento e pelas convenções sobre o sinal e exatamente qual componente foi usada). A ideia-chave:
e
têm mesma magnitude e valem cerca de
no nosso cálculo.
Passo 8
Cálculo da velocidade absoluta de saída
por triângulo vetorial (checagem e interpretação física).
- Sabemos
(magnitude) e sabemos que a saída absoluta é (adição vetorial). - Se a saída relativa
forma um ângulo em relação à direção tangencial, então a magnitude de (que é ) é
No caso de escoamento simétrico com
(saída dos dois fluxos saindo com
em relação à direção inversa ao jato), a componente tangencial total aparece com sinal apropriado e o valor de
obtido acima pela relação com
é consistente. A solução numérica direta já foi obtida via as equações de energia e momento:
(no nosso cálculo).
Observação final: dependendo da convenção geométrica (se o jato é considerado entrando em sentido oposto ao movimento do rotor ou no mesmo sentido) e do modo como
é medido, os sinais nas equações mudam e os números resultantes mudam um pouco. O procedimento correto em prova é escrever explicitamente as direções, montar os triângulos de velocidades e usar as duas equações (energia e momento) para resolver
e
.
Passo 9
Esboço dos triângulos de velocidade (descrição para desenhar na prova).
- Triângulo de velocidade na entrada (pelo final do bocal até a pá):
- Eixo tangencial (horizontal): a velocidade absoluta do jato é
. - Velocidade do rotor (vetor de referência) é
na mesma direção. - Velocidade relativa de entrada é
(um segmento horizontal de magnitude ). Triângulo degenerado (colinear) na entrada: os três vetores estão sobre a mesma linha.
- Triângulo de velocidades na saída:
- A velocidade relativa de saída
tem mesma magnitude de (no caso ideal) mas é desviada de direção dentro da pá. Para os dois fluxos saem simetricamente inclinados em relação ao eixo tangencial (cada um a em relação à direção média, dependendo da convenção). - Para desenhar: a partir da ponta do vetor
(paralelamente à direção tangencial), desenha-se formando o ângulo correspondente; a soma vetorial dá (velocidade absoluta de saída), cuja magnitude é . Mostre o triângulo formado por , e .
Esses triângulos (um colinear na entrada e um com ângulo na saída) são o que se pede no item (d); na prova desenhe-os com as magnitudes calculadas (
,
,
,
).
Resposta
(a)
, \quad
(b)
(c)
(d) Triângulos de velocidades:
- Entrada: triângulo colinear com
, e . - Saída: triângulo vetorial
, com e defletido de acordo com .