6- Um fluído de viscosidade \mu=0,0048 \mathrm{Ns} / \mathrm{m}^{2} e densidade igual a 0,90 flui em uma tubulação lisa de 0,30 \mathrm{~m} de diâmetro, com velocidade média de 1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule a tensão de atrito e a velocidade a 100 mm do eixo da tubulação.
(VALOR: 1,5 PONTOS)

Passo 1

Dados fornecidos (retirei do enunciado): \mu=0,0048\\ \mathrm{Ns/m^{2}}, diâmetro D=0,30\\ \mathrm{m}, velocidade média V=1,5\\ \mathrm{m/s}, distância do eixo onde queremos a velocidade r=100\\ \mathrm{mm}=0,10\\ \mathrm{m}. A densidade foi informada como 0,90 sem unidade explícita no enunciado; vou interpretar esse valor como \rho=0,90\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}=900\\ \mathrm{kg/m^{3}} (valor típico de um fluido tipo óleo). Se a intenção fosse interpretar \rho com outra unidade, o método segue o mesmo, apenas os números mudam.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular o número de Reynolds para saber o regime de escoamento. A fórmula do número de Reynolds para escoamento em tubo é
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu},
onde \rho é a densidade (kg/m³), V a velocidade média (m/s), D o diâmetro (m) e \mu a viscosidade dinâmica (Pa·s ou Ns/m²). Substituindo:
\mathrm{Re}=\frac{900\cdot1,5\cdot0,30}{0,0048}.
Calculemos passo a passo: 900\cdot1,5\cdot0,30=900\cdot0,45=405. Então
\mathrm{Re}=\frac{405}{0,0048}\approx 84\,375.
Como \mathrm{Re}\approx8{,}44\times10^{4}\gg4{,}000, o escoamento é turbulento totalmente desenvolvido.

Passo 3

Decidir como obter o fator de atrito f. Para tubos lisos e \mathrm{Re} na faixa aproximada 4\times10^{3} a 10^{5}, uma correlação prática e simples é a de Blasius:
f=0{,}3164\\ \mathrm{Re}^{-0{,}25}.
Escolhi essa correlação porque: (i) o tubo foi descrito como liso; (ii) o \mathrm{Re} está na faixa de validade prática da fórmula; (iii) ela dá um valor rápido e suficiente para cálculos de prova sem iterar a equação de Colebrook. Agora aplicamos:
f=0{,}3164\cdot(84\,375)^{-0{,}25}.
Calcule a raiz quarta: (84\,375)^{0{,}25}\approx17{,}04, então (84\,375)^{-0{,}25}\approx0{,}0587. Logo
f\approx0{,}3164\cdot0{,}0587\approx0{,}0186.

Passo 4

A tensão de atrito na parede (tensão de cisalhamento na parede) \tau_{w} está relacionada ao fator de atrito Darcy-Weisbach por
\tau_{w}=\frac{f}{8}\,\rho\,V^{2}.
Expliquei: \tau_{w} tem dimensão de pressão (Pa) e representa a força por área que o fluido transmite na parede devido ao atrito. Substituindo números:
\tau_{w}=\frac{0{,}0186}{8}\cdot900\cdot(1{,}5)^{2}.
Calcule V^{2}=1{,}5^{2}=2{,}25 e \rho V^{2}=900\cdot2{,}25=2025. Então
\tau_{w}=0{,}002325\cdot2025\approx4{,}70\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Para usar a lei do revestimento (law of the wall) precisamos da velocidade de fricção u_{*}, definida por
u_{*}=\sqrt{\frac{\tau_{w}}{\rho}}.
u_{*} tem dimensão de velocidade e é a escala de velocidade associada ao atrito próximo à parede. Substituindo:
u_{*}=\sqrt{\frac{4{,}70}{900}}\approx\sqrt{0{,}00522}\approx0{,}0723\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Precisamos da viscosidade cinemática \nu para calcular y^{+}. A definição é
\nu=\frac{\mu}{\rho}.
Substituindo:
\nu=\frac{0{,}0048}{900}=5{,}333\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}.

Passo 7

Determinar a coordenada y usada na lei do revestimento: a lei usa a distância à parede. O raio do tubo é R=D/2=0{,}15\\ \mathrm{m}. A posição pedida tem raio r=0{,}10\\ \mathrm{m} a partir do eixo, logo a distância da parede é
y=R-r=0{,}15-0{,}10=0{,}05\\ \mathrm{m}.
Agora calculamos a coordenada adimensional y^{+}:
y^{+}=\frac{y\,u_{*}}{\nu}=\frac{0{,}05\cdot0{,}0723}{5{,}333\times10^{-6}}\approx678.
Como y^{+}\gg100, estamos na região logarítmica onde a lei do revestimento vale bem.

Passo 8

Aplicar a lei logarítmica da região de camada limite turbulenta (parede lisa):
u^{+}=\frac{1}{\kappa}\ln y^{+}+B,
onde u^{+}=u/u_{*}, \kappa (constante de von Kármán) vale aproximadamente 0{,}41 e B (constante aditiva para parede lisa) vale aproximadamente 5{,}0. Então
u^{+}=\frac{1}{0{,}41}\ln(678)+5{,}0.
Calcule \ln(678)\approx6{,}52. Assim
u^{+}\approx2{,}439\cdot6{,}52+5{,}0\approx15{,}90+5{,}0=20{,}90.
Logo a velocidade nessa posição é
u=u_{*}\,u^{+}=0{,}0723\cdot20{,}90\approx1{,}51\\ \mathrm{m/s}.

Passo 9

Interpretação rápida e incentivo: obtivemos que a tensão de atrito na parede é baixa (alguns pascals), e a velocidade a 0{,}10\\ \mathrm{m} do eixo (ou seja, a 0{,}05\\ \mathrm{m} da parede) é muito próxima da velocidade média 1{,}5\\ \mathrm{m/s} — isso faz sentido porque em escoamento turbulento o perfil é bastante “plano” no núcleo do tubo. Parabéns — você conseguiu acompanhar todas as fórmulas essenciais: Reynolds, fator de atrito (Blasius), relação entre f e \tau_{w}, velocidade de fricção u_{*} e lei do revestimento.

Resposta

\tau_{w}\approx4{,}70\\ \mathrm{Pa}
u(r=0{,}10\\ \mathrm{m})\approx1{,}51\\ \mathrm{m/s}

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