4- Em um escoamento turbulento de água em um tubo de 300 mm de diâmetro, a tensão de cisalhamento na parede é de 5,0 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} e a velocidade central é de 2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine: a) vazão, b) a perda de carga unitária, c) a que distância da parede ocorre a velocidade média e, d) qual é o gradiente de velocidade à 25 mm da linha central. ( \mathbf{1 , 5} PONTOS)

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades indicadas:
  • Diâmetro do tubo: \,D=0{,}300\\ \mathrm{m}.
  • Logo, raio: \,R=\dfrac{D}{2}=0{,}150\\ \mathrm{m}.
  • Tensão de cisalhamento na parede: \,\tau_w=5{,}0\\ \mathrm{N/m^{2}}.
  • Velocidade no centro (velocidade máxima): \,U_c=2{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Fluido: água (vamos tomar \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}).
O que é pedido:
a) Vazão volumétrica \,Q.
b) Perda de carga unitária (perda de carga por unidade de comprimento) \,h_f/L.
c) Distância da parede onde a velocidade local é igual à velocidade média \,U_m.
d) Gradiente radial da velocidade \,du/dr no ponto a 25\\ \mathrm{mm} da linha central (ou seja, em r=0{,}025\\ \mathrm{m}).

Passo 2

Escolha do método e hipótese usada (explicação didática):
  • Em escoamento turbulento em tubos é comum aproximar o perfil de velocidade por uma “lei de potência” (power-law). A versão clássica usada em problemas didáticos é a lei de potência com expoente 1/7, que dá um perfil razoável e é fácil de integrar sem cálculo sofisticado.
  • A hipótese adotada: a velocidade axial em função do raio r é
u(r)=U_c\left(1-\dfrac{r}{R}\right)^{1/7}.
Explicando: r é a distância do eixo ( r=0 no centro, r=R na parede), U_c é a velocidade no centro (máxima). O fator (1-r/R)^{1/7} garante u(0)=U_c e u(R)=0. Esta aproximação é amplamente usada em provas porque permite cálculos analíticos simples.

Passo 3

Cálculo da velocidade média \,U_m a partir do perfil (a vazão será obtida a partir dela).
  • Definição da velocidade média em tubo (média superficial sobre a seção circular):
U_m=\dfrac{1}{\pi R^2}\int_{A} u\,dA.
Em coordenadas polares (simetria axial) dA=2\pi r\,dr, logo
U_m=\dfrac{2}{R^2}\int_{0}^{R} u(r)\,r\,dr.
  • Substituindo o perfil de potência:
U_m=\dfrac{2}{R^2}\int_{0}^{R} U_c\left(1-\dfrac{r}{R}\right)^{1/7} r\,dr.
Faça a mudança de variável x=\dfrac{r}{R} ( dr=R\,dx, quando r=0\Rightarrow x=0, r=R\Rightarrow x=1):
U_m=\dfrac{2U_c}{R^2}\int_{0}^{1} (1-x)^{1/7} (R x)\,R\,dx =\;2U_c\int_{0}^{1} x(1-x)^{1/7}\,dx.
  • A integral é uma integral beta simples. Use a fórmula
\int_{0}^{1} x(1-x)^{p}\,dx=\dfrac{1}{(p+1)(p+2)}.
Aqui p=1/7. Portanto
U_m=2U_c\cdot\dfrac{1}{\left(\tfrac{1}{7}+1\right)\left(\tfrac{1}{7}+2\right)}.
  • Simplificando algebraicamente:
U_m=2U_c\cdot\dfrac{1}{\dfrac{8}{7}\cdot\dfrac{15}{7}} =2U_c\cdot\dfrac{49}{120}=\dfrac{98}{120}U_c=\dfrac{49}{60}U_c.
  • Agora substituímos U_c=2{,}0\\ \mathrm{m/s}:
U_m=\dfrac{49}{60}\times 2{,}0= \dfrac{98}{60}=1{,}6333\\ \mathrm{m/s}
(arredondando a 4 casas decimais: 1{,}6333\\ \mathrm{m/s}).

Passo 4

Cálculo da vazão \,Q.
  • A vazão volumétrica é \,Q=U_m\cdot A, com A=\pi R^2=\dfrac{\pi D^2}{4}.
  • Calcule A:
A=\dfrac{\pi D^2}{4}=\dfrac{\pi(0{,}300)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}0225 \approx 0{,}0706858\\ \mathrm{m^2}.
  • Então
Q=U_m A = 1{,}6333\times 0{,}0706858 \approx 0{,}11554\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 5

Cálculo da perda de carga unitária \,h_f/L.
  • Relação entre tensão de cisalhamento na parede e gradiente de pressão em escoamento fully-developed em tubo: equilíbrio de forças no elemento de fluido dá
\dfrac{\Delta p}{L}=\dfrac{4\tau_w}{D}.
Explicação curta: a força de pressão sobre a seção ( \Delta p\cdot \pi R^2) é equilibrada pela força de cisalhamento na parede ( \tau_w\cdot \pi D L) levando à fórmula acima.
  • A perda de carga em termos de altura de coluna de fluido por unidade de comprimento é
\dfrac{h_f}{L}=\dfrac{(\Delta p/L)}{\rho g}=\dfrac{4\tau_w}{\rho g D}.
  • Substituindo valores ( \tau_w=5{,}0\\ \mathrm{N/m^2}, \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, D=0{,}300\\ \mathrm{m}):
\dfrac{h_f}{L}=\dfrac{4\times 5{,}0}{1000\times 9{,}81\times 0{,}300} =\dfrac{20}{2943}\approx 0{,}006797\\ \mathrm{m\\ por\\ m}.
Arredondando: 0{,}00680\\ \mathrm{m/m}. (Opcionalmente a queda de pressão por metro é \Delta p/L=4\tau_w/D=66{,}67\\ \mathrm{Pa/m}.)

Passo 6

Determinar a distância da parede onde ocorre a velocidade média \,U_m.
  • Procuramos r tal que u(r)=U_m. A equação é
U_c\left(1-\dfrac{r}{R}\right)^{1/7}=U_m.
  • Dividindo por U_c e elevando à sétima potência:
1-\dfrac{r}{R}=\left(\dfrac{U_m}{U_c}\right)^{7}.
Já temos \dfrac{U_m}{U_c}=\dfrac{49}{60}. Logo
1-\dfrac{r}{R}=\left(\dfrac{49}{60}\right)^{7}.
  • Calculando numericamen te:
\left(\dfrac{49}{60}\right)^{7}\approx 0{,}24230.
Então
\dfrac{r}{R}=1-0{,}24230=0{,}75770\quad\Rightarrow\quad r=0{,}75770\times 0{,}150\\ \mathrm{m}\approx 0{,}11366\\ \mathrm{m}.
  • A distância da parede é y=R-r:
y=0{,}150-0{,}11366=0{,}03634\\ \mathrm{m}\approx 36{,}34\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Cálculo do gradiente de velocidade \,du/dr em r=0{,}025\\ \mathrm{m} (25 mm da linha central).
  • Derivamos o perfil u(r)=U_c(1-r/R)^{1/7}. Usando regra da cadeia:
\dfrac{du}{dr}=U_c\cdot\dfrac{1}{7}\left(1-\dfrac{r}{R}\right)^{1/7-1}\cdot\left(-\dfrac{1}{R}\right).
  • Simplificando:
\dfrac{du}{dr}=-\dfrac{U_c}{7R}\left(1-\dfrac{r}{R}\right)^{-6/7}.
  • Agora substituímos U_c=2{,}0\\ \mathrm{m/s}, R=0{,}150\\ \mathrm{m}, r=0{,}025\\ \mathrm{m}:
1-\dfrac{r}{R}=1-\dfrac{0{,}025}{0{,}150}=1-0{,}1666667=0{,}8333333.
\left(0{,}8333333\right)^{-6/7}\approx 1{,}1697.
\dfrac{U_c}{7R}=\dfrac{2{,}0}{7\times 0{,}150}=\dfrac{2{,}0}{1{,}05}\approx 1{,}90476\\ (\mathrm{s^{-1}}).
\dfrac{du}{dr}\Big|_{r=0{,}025} \approx -1{,}90476\times 1{,}1697 \approx -2{,}228\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Interpretação: o gradiente é negativo porque a velocidade decresce ao se afastar do centro; em unidades mais verbais, \,du/dr\approx -2{,}23\\ \mathrm{m/s\\ por\\ m} (ou -2{,}23\\ \mathrm{s^{-1}}) no ponto pedido.

Resposta

(a) Q\approx 0{,}11554\\ \mathrm{m^3/s}
(b) \dfrac{h_f}{L}\approx 0{,}00680\\ \mathrm{m/m}
(c) distância da parede \approx 0{,}03634\\ \mathrm{m} (≈ 36{,}34\\ \mathrm{mm})
(d) \dfrac{du}{dr}\Big|_{r=0{,}025}\approx -2{,}23\\ \mathrm{s^{-1}}

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