4- Em um escoamento turbulento de água em um tubo de 300 mm de diâmetro, a tensão de cisalhamento na parede é de 5,0 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} e a velocidade central é de 2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine: a) vazão, b) a perda de carga unitária, c) a que distância da parede ocorre a velocidade média e, d) qual é o gradiente de velocidade à 25 mm da linha central. ( \mathbf{1 , 5} PONTOS)
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades indicadas:
Tensão de cisalhamento na parede: \,\tau_w=5{,}0\\ \mathrm{N/m^{2}}.
Velocidade no centro (velocidade máxima): \,U_c=2{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Fluido: água (vamos tomar \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}).
O que é pedido:
a) Vazão volumétrica \,Q.
b) Perda de carga unitária (perda de carga por unidade de comprimento) \,h_f/L.
c) Distância da parede onde a velocidade local é igual à velocidade média \,U_m.
d) Gradiente radial da velocidade \,du/dr no ponto a 25\\ \mathrm{mm} da linha central (ou seja, em r=0{,}025\\ \mathrm{m}).
Passo 2
Escolha do método e hipótese usada (explicação didática):
Em escoamento turbulento em tubos é comum aproximar o perfil de velocidade por uma “lei de potência” (power-law). A versão clássica usada em problemas didáticos é a lei de potência com expoente 1/7, que dá um perfil razoável e é fácil de integrar sem cálculo sofisticado.
A hipótese adotada: a velocidade axial em função do raio r é
u(r)=U_c\left(1-\dfrac{r}{R}\right)^{1/7}.
Explicando: r é a distância do eixo ( r=0 no centro, r=R na parede), U_c é a velocidade no centro (máxima). O fator (1-r/R)^{1/7} garante u(0)=U_c e u(R)=0. Esta aproximação é amplamente usada em provas porque permite cálculos analíticos simples.
Passo 3
Cálculo da velocidade média \,U_m a partir do perfil (a vazão será obtida a partir dela).
Definição da velocidade média em tubo (média superficial sobre a seção circular):
U_m=\dfrac{1}{\pi R^2}\int_{A} u\,dA.
Em coordenadas polares (simetria axial) dA=2\pi r\,dr, logo
Q=U_m A = 1{,}6333\times 0{,}0706858 \approx 0{,}11554\\ \mathrm{m^3/s}.
Passo 5
Cálculo da perda de carga unitária \,h_f/L.
Relação entre tensão de cisalhamento na parede e gradiente de pressão em escoamento fully-developed em tubo: equilíbrio de forças no elemento de fluido dá
\dfrac{\Delta p}{L}=\dfrac{4\tau_w}{D}.
Explicação curta: a força de pressão sobre a seção (\Delta p\cdot \pi R^2) é equilibrada pela força de cisalhamento na parede (\tau_w\cdot \pi D L) levando à fórmula acima.
A perda de carga em termos de altura de coluna de fluido por unidade de comprimento é
\dfrac{h_f}{L}=\dfrac{(\Delta p/L)}{\rho g}=\dfrac{4\tau_w}{\rho g D}.
Interpretação: o gradiente é negativo porque a velocidade decresce ao se afastar do centro; em unidades mais verbais, \,du/dr\approx -2{,}23\\ \mathrm{m/s\\ por\\ m} (ou -2{,}23\\ \mathrm{s^{-1}}) no ponto pedido.