3- Uma tubulação de PVC, de 1000 m de comprimento e 200 mm de diâmetro interliga os reservatórios R1 e R2. Os níveis de água dos reservatórios R1 e R2 estão nas cotas 620,0 \mathrm{~m} e 600,0 \mathrm{~m}, respectivamente. Considerando desprezível as perdas de carga localizadas, responda:
OBS: Utilizar a fórmula universal para perda de carga(VALOR: 2,5 PONTOS)
a) Calcular a vazão escoada.
b) Para \mathrm{k} / \mathrm{D}=10^{-4} e \mathrm{Re}=10^{6}, calcular a vazão.
c) Se utilizarmos a equação de hazen-wilians, qual o valor do coeficiente C para a mesma vazão do item anterior?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas.
Dados:
  • comprimento da tubulação: L=1000\\ \mathrm{m}
  • diâmetro interno da tubulação: D=200\\ \mathrm{mm}=0{,}200\\ \mathrm{m}
  • cotas dos reservatórios: z_{R1}=620{,}0\\ \mathrm{m} e z_{R2}=600{,}0\\ \mathrm{m}
  • desprezam-se perdas localizadas
  • usar a “fórmula universal” para perda de carga (ou seja, a fórmula de Darcy–Weisbach)
  • no item (b) são dados \dfrac{k}{D}=10^{-4} e \mathrm{Re}=10^{6}
Perguntas:
a) Calcular a vazão escoada (quando não é dado k/D nem \mathrm{Re}).
b) Para \dfrac{k}{D}=10^{-4} e \mathrm{Re}=10^{6}, calcular a vazão numérica.
c) Usando a equação de Hazen–Williams, determinar o coeficiente C que gere a mesma vazão do item (b).

Passo 2

Entendendo fisicamente e montando as equações básicas (sem ainda resolver numericamente).
  • Como os reservatórios são grandes, a diferença de carga disponível para vencer o atrito é a diferença de nível entre eles:
\Delta H = z_{R1}-z_{R2}=620{,}0-600{,}0=20{,}0\\ \mathrm{m}.
  • A perda de carga por atrito ao longo do tubo (Darcy–Weisbach) é dada por:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde:
  • h_f é a perda de carga em metros de coluna de água,
  • f é o fator de atrito de Darcy (adimensional),
  • L é o comprimento da tubulação ( \mathrm{m}),
  • D é o diâmetro interno ( \mathrm{m}),
  • V é a velocidade média do escoamento ( \mathrm{m/s}),
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}).
  • Em regime permanente, toda a altura disponível é gasta em h_f, logo:
h_f=\Delta H.
  • Relação entre vazão Q e velocidade V:
Q = A V \quad\text{com}\quad A = \frac{\pi D^2}{4}.
Observação: no item (a) o fator f não foi fornecido, então a solução ficará em função de f. No item (b) vamos determinar f a partir de \dfrac{k}{D} e \mathrm{Re}.

Passo 3

Resolver simbolicamente para Q em função de f (resposta do item a, em forma utilizável na prova).
Partindo de h_f=\Delta H e da fórmula de Darcy:
\Delta H = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g}.
Isolando V:
V = \sqrt{\frac{2g\,\Delta H\,D}{f\,L}}.
Calculando a área do tubo:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi (0{,}200)^2}{4}=\pi(0{,}01)=0{,}01\pi\\ \mathrm{m^2}\approx 0{,}0314159\\ \mathrm{m^2}.
Logo a vazão em função de f é:
Q = A\,V = A\sqrt{\frac{2g\,\Delta H\,D}{f\,L}}.
Substituindo os números constantes ( g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, \Delta H=20{,}0\\ \mathrm{m}, D=0{,}200\\ \mathrm{m}, L=1000\\ \mathrm{m}, A=0{,}01\pi\\ \mathrm{m^2}) obtemos uma forma numérica conveniente:
Q = \frac{0{,}008800}{\sqrt{f}}\\ \mathrm{m^3/s}.
(Explicação rápida do cálculo numérico: calculei 2g\Delta H D=78{,}48, dividi por L e acomodei a constante com A para chegar ao coeficiente 0{,}008800.)
Portanto, resposta do item (a): Q depende do fator de atrito e vale
Q=\dfrac{0{,}008800}{\sqrt{f}}\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 4

Determinar o fator de atrito f para \dfrac{k}{D}=10^{-4} e \mathrm{Re}=10^{6} (pré-requisito do item b).
  • Para tubulações rugosas e escoamento turbulento, o fator f é dado implicitamente pela equação de Colebrook–White:
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2\log_{10}\!\left(\frac{k/D}{3{,}7} + \frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\,\sqrt{f}}\right).
Essa equação é implícita em f. Para cálculo prático usamos uma fórmula explícita aproximada muito usada (Swamee–Jain), que é adequada para \mathrm{Re}>5000:
f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{k/D}{3{,}7}+\dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2}.
  • Substituindo \dfrac{k}{D}=10^{-4} e \mathrm{Re}=10^{6}:
    • \dfrac{k/D}{3{,}7}=\dfrac{10^{-4}}{3{,}7}\approx 2{,}7027\times 10^{-5}.
    • \dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}=\dfrac{5{,}74}{(10^{6})^{0{,}9}}=\dfrac{5{,}74}{10^{5{,}4}}\approx 2{,}285\times 10^{-5}.
    • Soma =4{,}988\times 10^{-5}.
    • \log_{10}(4{,}988\times 10^{-5})\approx -4{,}3024.
    • Elevando ao quadrado e aplicando a fórmula:
f \approx \frac{0{,}25}{(-4{,}3024)^2}\approx \frac{0{,}25}{18{,}513}\approx 0{,}013505.
Portanto, f\approx 0{,}01351 (adimensional). Essa aproximação é compatível com solução iterativa da Colebrook.

Passo 5

Calcular a vazão numérica do item (b) usando f encontrado.
  • A partir da expressão do Passo 3:
Q=\frac{0{,}008800}{\sqrt{f}}.
Com f=0{,}013505 temos \sqrt{f}\approx 0{,}11622. Então
Q \approx \frac{0{,}008800}{0{,}11622}\approx 0{,}07577\\ \mathrm{m^3/s}.
Arredondando de forma conveniente:
Q \approx 0{,}0758\\ \mathrm{m^3/s}\quad(\approx 75{,}8\\ \mathrm{L/s}).

Passo 6

Encontrar o coeficiente C da fórmula de Hazen–Williams que produz a mesma vazão do item (b).
  • Forma prática da equação de Hazen–Williams em unidades SI (queda de carga por unidade de comprimento S=h_f/L):
S=\frac{10{,}67\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}8704}},
onde:
  • S=h_f/L (m/m),
  • Q em \mathrm{m^3/s},
  • D em \mathrm{m},
  • C adimensional.
  • Aqui S=\dfrac{\Delta H}{L}=\dfrac{20{,}0}{1000}=0{,}02.
  • Isolando C:
C^{1{,}852} = \frac{10{,}67\,Q^{1{,}852}}{S\,D^{4{,}8704}}, \quad\text{portanto}\quad C = \left(\frac{10{,}67\,Q^{1{,}852}}{S\,D^{4{,}8704}}\right)^{1/1{,}852}.
  • Substituindo Q=0{,}07577\\ \mathrm{m^3/s}, S=0{,}02, D=0{,}200\\ \mathrm{m}:
    • Calculei Q^{1{,}852}\approx 0{,}00841.
    • Calculei D^{4{,}8704}\approx 3{,}92\times 10^{-4}.
    • Numerador 10{,}67\times 0{,}00841\approx 0{,}08975.
    • Denominador S D^{4{,}8704}=0{,}02\times 3{,}92\times 10^{-4}\approx 7{,}84\times 10^{-6}.
    • Razão \approx 1{,}1445\times 10^{4}.
    • Aplicando a potência 1/1{,}852 obtém-se:
C \approx 155{,}6 \approx 156.
Interpretação: um valor C\approx 156 é coerente com tubo de PVC liso (valores típicos de PVC variam em torno de 140–170 dependendo da condição).

Resposta

a) Q=\dfrac{0{,}008800}{\sqrt{f}}\\ \mathrm{m^3/s}.
b) Q\approx 0{,}0758\\ \mathrm{m^3/s}.
c) C\approx 156.

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