3- Uma tubulação de PVC, de 1000 m de comprimento e 200 mm de diâmetro interliga os reservatórios R1 e R2. Os níveis de água dos reservatórios R1 e R2 estão nas cotas
e
, respectivamente. Considerando desprezível as perdas de carga localizadas, responda:
OBS: Utilizar a fórmula universal para perda de carga(VALOR: 2,5 PONTOS)
a) Calcular a vazão escoada.
b) Para
e
, calcular a vazão.
c) Se utilizarmos a equação de hazen-wilians, qual o valor do coeficiente C para a mesma vazão do item anterior?
a) Calcular a vazão escoada.
b) Para
c) Se utilizarmos a equação de hazen-wilians, qual o valor do coeficiente C para a mesma vazão do item anterior?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas.
Dados:
- comprimento da tubulação:
- diâmetro interno da tubulação:
- cotas dos reservatórios:
e - desprezam-se perdas localizadas
- usar a “fórmula universal” para perda de carga (ou seja, a fórmula de Darcy–Weisbach)
- no item (b) são dados
e
Perguntas:
a) Calcular a vazão escoada (quando não é dado nem
).
b) Para e
, calcular a vazão numérica.
c) Usando a equação de Hazen–Williams, determinar o coeficiente que gere a mesma vazão do item (b).
a) Calcular a vazão escoada (quando não é dado
b) Para
c) Usando a equação de Hazen–Williams, determinar o coeficiente
Passo 2
Entendendo fisicamente e montando as equações básicas (sem ainda resolver numericamente).
- Como os reservatórios são grandes, a diferença de carga disponível para vencer o atrito é a diferença de nível entre eles:
- A perda de carga por atrito ao longo do tubo (Darcy–Weisbach) é dada por:
onde:
-
é a perda de carga em metros de coluna de água, -
é o fator de atrito de Darcy (adimensional), -
é o comprimento da tubulação ( ), -
é o diâmetro interno ( ), -
é a velocidade média do escoamento ( ), -
é a aceleração da gravidade ( ). -
Em regime permanente, toda a altura disponível é gasta em
, logo:
- Relação entre vazão
e velocidade :
Observação: no item (a) o fator
não foi fornecido, então a solução ficará em função de
. No item (b) vamos determinar
a partir de
e
.
Passo 3
Resolver simbolicamente para
em função de
(resposta do item a, em forma utilizável na prova).
Partindo de
e da fórmula de Darcy:
Isolando
:
Calculando a área do tubo:
Logo a vazão em função de
é:
Substituindo os números constantes (
,
,
,
,
) obtemos uma forma numérica conveniente:
(Explicação rápida do cálculo numérico: calculei
, dividi por
e acomodei a constante com
para chegar ao coeficiente
.)
Portanto, resposta do item (a):
depende do fator de atrito e vale
Passo 4
Determinar o fator de atrito
para
e
(pré-requisito do item b).
- Para tubulações rugosas e escoamento turbulento, o fator
é dado implicitamente pela equação de Colebrook–White:
Essa equação é implícita em
. Para cálculo prático usamos uma fórmula explícita aproximada muito usada (Swamee–Jain), que é adequada para
:
- Substituindo
e : -
. -
. - Soma
. -
. - Elevando ao quadrado e aplicando a fórmula:
-
Portanto,
(adimensional). Essa aproximação é compatível com solução iterativa da Colebrook.
Passo 5
Calcular a vazão numérica do item (b) usando
encontrado.
- A partir da expressão do Passo 3:
Com
temos
. Então
Arredondando de forma conveniente:
Passo 6
Encontrar o coeficiente
da fórmula de Hazen–Williams que produz a mesma vazão do item (b).
- Forma prática da equação de Hazen–Williams em unidades SI (queda de carga por unidade de comprimento
):
onde:
-
(m/m), -
em , -
em , -
adimensional. -
Aqui
. -
Isolando
:
- Substituindo
, , : - Calculei
. - Calculei
. - Numerador
. - Denominador
. - Razão
. - Aplicando a potência
obtém-se:
- Calculei
Interpretação: um valor
é coerente com tubo de PVC liso (valores típicos de PVC variam em torno de 140–170 dependendo da condição).
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)