Uma onda eletromagnética senoidal emitida por uma estação de rádio passa perpendicularmente através de uma janela aberta com área de 0,500 \mathrm{~m}^{2}. Na janela, o campo elétrico da onda possui valor eficaz de 0,0400 \mathrm{~V} / \mathrm{m}. Quanta energia essa onda transporta através da janela durante um comercial de 30,0 s?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma única coisa.
  • Área da janela: A = 0,500\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Valor eficaz (rms) do campo elétrico da onda na janela: E_{\text{rms}} = 0,0400\\ \mathrm{V/m}.
  • Duração do comercial: \Delta t = 30,0\\ \mathrm{s}.
O que o enunciado pede:
  • Calcular a energia total transportada pela onda através da janela durante o tempo \Delta t.

Passo 2

Entender como obter a energia a partir do campo elétrico: a quantidade relevante é a intensidade média (fluxo de energia por unidade de área) da onda eletromagnética, dada pelo valor médio do vetor de Poynting. Para uma onda plana em vácuo vale a relação (aqui vai uma pequena dedução didática):
A magnitude instantânea do vetor de Poynting é
S(t)=\frac{1}{\mu_{0}}\,E(t)\,B(t).
Para uma onda eletromagnética plana em vácuo a relação entre os campos é B(t)=E(t)/c, onde c é a velocidade da luz. Substituindo:
S(t)=\frac{1}{\mu_{0}}\frac{E^{2}(t)}{c}.
Usando \mu_{0}=\dfrac{1}{\varepsilon_{0}c^{2}} (relação entre constantes do eletromagnetismo) obtemos
S(t)=\varepsilon_{0}\,c\,E^{2}(t).
Agora queremos a intensidade média ao longo de um ciclo, isto é \langle S\rangle=\varepsilon_{0}c\langle E^{2}(t)\rangle. Para uma onda senoidal E(t)=E_{0}\sin(\omega t) tem-se \langle E^{2}\rangle = E_{0}^{2}/2. Definindo o valor eficaz (rms) por E_{\text{rms}}=E_{0}/\sqrt{2} vem
\langle S\rangle=\varepsilon_{0}c\;E_{\text{rms}}^{2}.
Explicando as variáveis:
  • \langle S\rangle é a intensidade média (energia por unidade de área por segundo), em \mathrm{W/m^{2}}.
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo (em \mathrm{F/m}).
  • c é a velocidade da luz (em \mathrm{m/s}).
  • E_{\text{rms}} é o valor eficaz do campo elétrico (em \mathrm{V/m}).
Portanto, sabendo E_{\text{rms}} podemos calcular diretamente a intensidade média com a fórmula acima.

Passo 3

Escolher valores numéricos para as constantes (mantendo 3 algarismos significativos coerentes com os dados):
c = 3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},\qquad \varepsilon_{0} = 8,85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Calcular o produto \varepsilon_{0}c:
\varepsilon_{0}c = \left(8,85\times10^{-12}\right)\left(3,00\times10^{8}\right) = 2,655\times10^{-3}\\ \mathrm{\dfrac{s}{V^{2}}}\cdot\mathrm{(?)}
(na prática essa combinação de unidades resulta em \mathrm{W\cdot s/(V^{2}\cdot m^{2})}, mas o importante é que ao multiplicar por E^{2} obtemos \mathrm{W/m^{2}}.)
Agora calcular a intensidade média usando E_{\text{rms}}=0,0400\\ \mathrm{V/m}:
E_{\text{rms}}^{2} = \left(0,0400\right)^{2} = 1,60\times10^{-3}\\ \mathrm{(V/m)^{2}}.
\langle S\rangle = \varepsilon_{0}c\,E_{\text{rms}}^{2} = \left(2,655\times10^{-3}\right)\left(1,60\times10^{-3}\right) = 4,248\times10^{-6}\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Passo 4

A energia que atravessa uma área A durante um intervalo \Delta t é
U = \langle S\rangle \, A \, \Delta t.
Substituindo os valores:
U = \left(4,248\times10^{-6}\\ \mathrm{W/m^{2}}\right)\left(0,500\\ \mathrm{m^{2}}\right)\left(30,0\\ \mathrm{s}\right).
Calcule passo a passo:
\langle S\rangle \, A = 4,248\times10^{-6}\times0,500 = 2,124\times10^{-6}\\ \mathrm{W},
U = 2,124\times10^{-6}\times30,0 = 6,372\times10^{-5}\\ \mathrm{J}.
Arredondando para três algarismos significativos (coerente com os dados fornecidos) obtemos
U \approx 6,37\times10^{-5}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Verificação rápida de consistência dimensional: \langle S\rangle tem unidades \mathrm{W/m^{2}}, multiplicando por \mathrm{m^{2}} e por \mathrm{s} resulta em joules, exatamente a unidade de energia. O valor é muito pequeno, o que faz sentido: campos de rádio fracos fornecem potências superficiais muito baixas.

Resposta

6,37\times10^{-5}\\ \mathrm{J}

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