Uma onda eletromagnética senoidal está se propagando no vácuo no sentido +z. Se em um dado instante e em um dado ponto do espaço o campo elétrico estiver no sentido +x e possuir módulo de 4,00 \mathrm{~V} / \mathrm{m}, quais serão o módulo, a direção e o sentido do campo magnético da onda nesse mesmo ponto no espaço e mesmo instante no tempo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo no mesmo ponto do espaço e mesmo instante de tempo):
  • A onda eletromagnética é senoidal e se propaga no vácuo no sentido +\hat{z}.
  • O campo elétrico naquele ponto e instante está no sentido +\hat{x} e tem módulo 4{,}00\\ \mathrm{V/m}.
O que o problema pede:
  • Determinar o módulo do campo magnético \mathbf{B} naquele ponto e instante.
  • Determinar a direção e o sentido de \mathbf{B} (ou seja, indicar ao longo de qual eixo \mathbf{B} aponta e se é + ou - desse eixo).

Passo 2

Ideia física e fórmula essencial (explicação didática curta).
  • Em uma onda eletromagnética plana no vácuo, os vetores \mathbf{E}, \mathbf{B} e o vetor de propagação \hat{k} (a direção da onda) são mutuamente perpendiculares e formam um tríade dextrógira (regra da mão direita): \mathbf{E}\times\mathbf{B} aponta na direção de propagação.
  • Além disso, as amplitudes (módulos) satisfazem a relação simples
|\mathbf{E}| = c\,|\mathbf{B}|
onde c é a velocidade da luz no vácuo. Esta relação pode ser obtida das equações de Maxwell para ondas planas; intuitivamente, em unidades SI o campo elétrico é numericamente muito maior que o magnético por um fator c.
  • Portanto a fórmula prática que vamos usar é
|\mathbf{B}| = \frac{|\mathbf{E}|}{c}.
Aqui:
  • |\mathbf{E}| é o módulo do campo elétrico (em \mathrm{V/m});
  • |\mathbf{B}| é o módulo do campo magnético (em \mathrm{T});
  • c é a velocidade da luz no vácuo, que vamos aproximar por c = 3{,}00\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Cálculo do módulo de \mathbf{B}.
  • Usando |\mathbf{B}| = \dfrac{|\mathbf{E}|}{c} com |\mathbf{E}|=4{,}00\\ \mathrm{V/m} e c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},
|\mathbf{B}| = \frac{4{,}00}{3{,}00\times10^{8}}\\ \mathrm{T}.
  • Fazer a divisão:
|\mathbf{B}| = 1{,}33\times10^{-8}\\ \mathrm{T}.
  • Em unidades mais familiares, 1{,}33\times10^{-8}\\ \mathrm{T} = 13{,}3\\ \mathrm{nT} (já que 1\\ \mathrm{nT}=10^{-9}\\ \mathrm{T}).

Passo 4

Determinação da direção e sentido de \mathbf{B} (explicação passo a passo, sem pular etapas).
  • Sabemos que a direção de propagação é +\hat{z} e que \mathbf{E} está em +\hat{x}.
  • A relação vetorial importante é que o vetor de Poynting (fluxo de energia) é proporcional a \mathbf{E}\times\mathbf{B} e aponta na direção de propagação:
\mathbf{E}\times\mathbf{B}\\ \text{aponta para}\\\ +\hat{z}.
  • Colocando \mathbf{E} = +\hat{x} (direção conhecida), queremos encontrar um \mathbf{B} tal que
\hat{x}\times\mathbf{B} = +\hat{z}.
  • Lembrando as regras do produto vetorial entre os versores principais:
\hat{x}\times\hat{y}=\hat{z},\qquad \hat{x}\times(-\hat{y})=-\hat{z}.
  • Assim, se \mathbf{B} apontar para +\hat{y} (ou seja \mathbf{B}=+B\,\hat{y}), então
\hat{x}\times(+\hat{y}) = +\hat{z},
o que é exatamente o que queremos. Se \mathbf{B} apontasse para -\hat{y}, o produto daria -\hat{z} (contrário à propagação), então esse não é o caso.
  • Conclusão: a direção de \mathbf{B} é ao longo do eixo y e o sentido é +\hat{y} (ou seja, para o sentido positivo do eixo y).

Passo 5

Interpretação final e dica para a prova (como aplicar rápido na hora).
  • Regra rápida para provas: se souber a direção de propagação \hat{k} e a direção de \mathbf{E}, use a regra da mão direita ou verifique qual versor \hat{u} satisfaz \mathbf{E}\times\hat{u}=\hat{k}. O módulo vem de |\mathbf{B}|=|\mathbf{E}|/c.
  • No caso concreto: propagação +\hat{z}, \mathbf{E}=+4{,}00\,\hat{x}\\ \mathrm{V/m} \mathbf{B} deve ser paralelo a \hat{y} e de módulo 4{,}00/c.

Resposta

|\mathbf{B}| = 1{,}33\times10^{-8}\\ \mathrm{T}
direção: \hat{y}
sentido: +\hat{y}

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