O fluxo magnético através de uma espira varia conforme a relação abaixo
\Phi_{B}(t)=6 \cos \left(\frac{\pi t}{2}\right)
Para que instantes de tempo, a força eletromotriz induzida será nula?
a) t=2 k, \quad k=0,1,2,3 \ldots
b) t=3 k, \quad k=0,1,2,3 \ldots
c) t=k, \quad k=0,1,2,3 \ldots
d) t=\frac{k}{2}, \quad k=0,1,2,3 \ldots

Passo 1

O enunciado dá a variação do fluxo magnético com o tempo:
\Phi_{B}(t)=6\cos\!\left(\frac{\pi t}{2}\right).
A pergunta é: para que instantes de tempo a força eletromotriz induzida será nula? As alternativas propostas são:
\text{(a) }t=2k,\quad \text{(b) }t=3k,\quad \text{\text{(c)} }t=k,\quad \text{(d) }t=\frac{k}{2},
com k=0,1,2,3,\ldots.

Passo 2

A lei que relaciona fluxo magnético e força eletromotriz é a Lei de Faraday (forma simples para uma espira):
\mathcal{E}=-\frac{d\Phi_{B}}{dt}.
Aqui \mathcal{E} é a força eletromotriz induzida (em volts, por exemplo) e \Phi_{B}(t) é o fluxo magnético que depende do tempo. Para que \mathcal{E}=0 precisamos de \frac{d\Phi_{B}}{dt}=0.

Passo 3

Vamos calcular a derivada \frac{d\Phi_{B}}{dt}. Usamos a regra da cadeia: a derivada de \cos(u(t)) é -\sin(u(t))\cdot u'(t). Aplicando a \Phi_{B}(t)=6\cos\!\left(\frac{\pi t}{2}\right):
\frac{d\Phi_{B}}{dt} =6\cdot\left(-\sin\!\left(\frac{\pi t}{2}\right)\right)\cdot\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\pi t}{2}\right).
Agora \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\pi t}{2}\right)=\frac{\pi}{2}. Substituindo:
\frac{d\Phi_{B}}{dt}=-6\sin\!\left(\frac{\pi t}{2}\right)\cdot\frac{\pi}{2}=-3\pi\sin\!\left(\frac{\pi t}{2}\right).

Passo 4

Usando Faraday, a força eletromotriz é
\mathcal{E}=-\frac{d\Phi_{B}}{dt}=-\big(-3\pi\sin\!\left(\frac{\pi t}{2}\right)\big)=3\pi\sin\!\left(\frac{\pi t}{2}\right).
Ou seja, \mathcal{E} é proporcional a \sin\!\left(\frac{\pi t}{2}\right).

Passo 5

Para que \mathcal{E}=0 precisamos de
\sin\!\left(\frac{\pi t}{2}\right)=0.
A função seno zera quando o argumento é um múltiplo inteiro de \pi, isto é
\frac{\pi t}{2}=n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.
Dividindo ambos os lados por \pi obtemos \frac{t}{2}=n, portanto
t=2n.

Passo 6

Como o enunciado lista k=0,1,2,3,\ldots como os índices positivos, escrevemos a solução positiva como
t=2k,\quad k=0,1,2,3,\ldots.
Verificação rápida: em t=0 temos \sin(0)=0 e \mathcal{E}=0; em t=2 temos \sin(\pi)=0 e \mathcal{E}=0. Em t=1 temos \sin(\pi/2)=1, \mathcal{E}=3\pi\neq0, então não serve.

Resposta

a) t=2 k, \quad k=0,1,2,3 \ldots

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