Um foguete com 1,00 \times 10^{6} \mathrm{~kg} tem 1,00 \times 10^{3} \mathrm{~kg} de combustível a bordo. O foguete está parado no espaço quando de repente torna-se necessário acelerar. A ignição dos motores do foguete é feita e o combustível de 1,00 \times 10^{3} \mathrm{~kg} é consumido. O gás de escape (combustível gasto) é lançado durante um curto intervalo de tempo numa velocidade de 0,500 c em relação a S - o referencial inercial no qual o foguete está inicialmente em repouso.
a) Calcule a variação da massa do sistema foguete-combustível.
b) Calcule a velocidade final do foguete u_{R} em relação a S.
c) De novo, calcule a velocidade final do foguete em relação a S, mas usando a mecânica clássica (newtoniana).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede 3 coisas. Dados (todos em relação ao referencial S onde o foguete estava inicialmente em repouso):
\text{massa total inicial do foguete (incluindo combustível)} = \,M = 1,00\times 10^{6}\\ \mathrm{kg}í
\text{massa do combustível consumido (massa dos gases expulsos)} = \,m = 1,00\times 10^{3}\\ \mathrm{kg}í
\text{velocidade dos gases de escape em relação a }S = v_{\text{ex}} = 0,500\,cçã
Após a queima o foguete tem massa de repouso (rest mass)
M_{R}=M-m=1,00\times 10^{6}-1,00\times 10^{3}=9,99\times 10^{5}\\ \mathrm{kg}.
O que o problema pede:
(a) calcular a variação da massa do sistema foguete+combustível (ou seja, da massa-invariante / massa de repouso do sistema como um todo);
(b) calcular a velocidade final do foguete u_{R} em relação a S usando relatividade (ou seja, conservação relativística de energia e momento);
(c) recalcular u_{R} usando a mecânica clássica (newtoniana).

Passo 2

Conservação relativística: em relatividade a quantidade conservada é o quadrivetor momento-energia. Em S, inicialmente o sistema está em repouso, então o momento total inicial é zero e a energia total inicial é simplesmente a energia de repouso:
E_{\text{inicial}}=M c^{2}.
Após a queima temos duas partes móveis: o foguete (com massa de repouso M_{R}) e os gases expulsos (massa de repouso m) com velocidade v_{\text{ex}}. Devemos aplicar:
conservação do momento linear
\gamma_{R} M_{R} u_{R}=\gamma_{\text{ex}}\, m\, v_{\text{ex}},
e conservação da energia total
\gamma_{R} M_{R} c^{2}+\gamma_{\text{ex}}\, m\, c^{2}=M c^{2}.
Aqui eu defini:
\gamma_{\text{ex}}=\frac{1}{\sqrt{1-(v_{\text{ex}}/c)^{2}}},\qquad \gamma_{R}=\frac{1}{\sqrt{1-(u_{R}/c)^{2}}}.
Essas duas equações vêm diretamente da expressão relativística para energia E=\gamma m c^{2} e momento p=\gamma m v. Note: o sinal das velocidades é tal que o momento total final é zero (momento do foguete na direção positiva cancela o dos gases).

Passo 3

Calculo de \gamma_{\text{ex}} para os gases:
v_{\text{ex}}=0,500\,c \Rightarrow \gamma_{\text{ex}}=\frac{1}{\sqrt{1-(0,5)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{0,75}}=1,154700538\ldots
Vou usar \gamma_{\text{ex}}\approx 1,154700538.

Passo 4

Isolar u_{R}. Das equações de conservação temos duas equações em duas incógnitas \gamma_{R}M_{R} e u_{R}. Uma forma prática é dividir a equação do momento pela equação da energia (isso elimina \gamma_{R}M_{R}):
\frac{\gamma_{R} M_{R} u_{R}}{\gamma_{R} M_{R} c^{2}}=\frac{\gamma_{\text{ex}} m v_{\text{ex}}}{M c^{2}-\gamma_{\text{ex}} m c^{2}}.
Isso simplifica para
\frac{u_{R}}{c^{2}}=\frac{\gamma_{\text{ex}} m v_{\text{ex}}}{\bigl(M-\gamma_{\text{ex}} m\bigr)c^{2}}.
Multiplicando por c^{2} obtemos a fórmula direta para u_{R}:
u_{R}=\frac{\gamma_{\text{ex}}\, m\, v_{\text{ex}}}{M-\gamma_{\text{ex}}\, m}.
Esta expressão é bastante intuitiva: o numerador é (relativisticamente) o momento “efetivo” fornecido pelos gases e o denominador é a massa de repouso que fica “acelerando” (corrigida pelo fator \gamma_{\text{ex}} que aparece porque a energia dos gases participa da conservação).

Passo 5

Substituição numérica na expressão relativística. Primeiro alguns valores já calculados:
\gamma_{\text{ex}}\, m \approx 1,154700538\times 1,00\times 10^{3}=1,154700538\times 10^{3}\\ \mathrm{kg}.
Usando \;v_{\text{ex}}=0,5\,c e M=1,00\times 10^{6}\\ \mathrm{kg}:
u_{R}=\frac{(1,154700538\times 10^{3})\times(0,5\,c)}{1,00\times 10^{6}-1,154700538\times 10^{3}}.
Calculemos a razão em unidades de c:
\frac{u_{R}}{c}=\frac{1,154700538\times 10^{3}\times 0,5}{1,00\times 10^{6}-1,154700538\times 10^{3}} =\frac{577,350269}{998\,845,299462}\approx 5,78\times 10^{-4}.
Portanto
u_{R}\approx 5,78\times 10^{-4}\,c.
Convertendo para \mathrm{m/s} usando c\approx 3,00\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}:
u_{R}\approx 5,78\times 10^{-4}\times 3,00\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}\approx 1,73\times 10^{5}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Resposta à parte (a) — variação da massa do sistema foguete+combustível. Como o sistema inteiro é isolado (sem perda de energia para fora do sistema) e inicialmente está em repouso em S, a massa-invariante (massa de repouso total do sistema) é dada por
M_{\text{inicial}}=\frac{E_{\text{inicial}}}{c^{2}}=\frac{M c^{2}}{c^{2}}=M.
Após a queima, a energia total final (soma das energias dos dois corpos) é igual à energia total inicial (conservação de energia):
\gamma_{R} M_{R} c^{2}+\gamma_{\text{ex}} m c^{2}=M c^{2}.
No referencial onde o momento total é zero (aqui é S inicialmente), a massa-invariante final do sistema é M_{\text{final}}=E_{\text{final}}/c^{2}. Como E_{\text{final}}=E_{\text{inicial}}, segue imediatamente
M_{\text{final}}=M_{\text{inicial}}.
Logo a variação da massa do sistema é zero:
\Delta m=0.
Intuição física: a energia química/ térmica transformada em energia cinética permanece dentro do sistema (nos gases e no foguete), então a massa-invariante total do sistema não muda.

Passo 7

Cálculo clássico (newtoniano) para (c). Na mecânica clássica usamos conservação do momento simples (sem fatores \gamma):
M_{R}\,u_{R,\text{class}}=m\,v_{\text{ex}}.
Logo
u_{R,\text{class}}=\frac{m\,v_{\text{ex}}}{M_{R}}=\frac{1,00\times 10^{3}\times 0,5\,c}{9,99\times 10^{5}}.
Em unidades de c:
\frac{u_{R,\text{class}}}{c}=\frac{500}{999000}\approx 5,005\times 10^{-4},
ou em \mathrm{m/s}:
u_{R,\text{class}}\approx 5,005\times 10^{-4}\times 3,00\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}\approx 1,50\times 10^{5}\\ \mathrm{m/s}.
Observação: a diferença entre os resultados relativístico e clássico não é enorme (ambos na faixa de 10^{5}\\ \mathrm{m/s}) porque a razão massa do combustível / massa total é muito pequena; ainda assim o resultado relativístico é um pouco maior por causa do fator \gamma_{\text{ex}}.

Passo 8

Resumo rápido do que fizemos (pra te animar): usamos conservação relativística de momento e energia para obter uma expressão fechada para u_{R}, calculamos numericamente e depois fizemos o mesmo com a fórmula clássica para comparar. Dá pra aplicar esse mesmo procedimento a outros problemas parecidos (sempre escreva as equações de conservação e elimine incógnitas de forma algébrica).

Resposta

(a) \Delta m=0\\ \mathrm{kg}
(b) u_{R}\approx 5,78\times 10^{-4}\,c \approx 1,73\times 10^{5}\\ \mathrm{m/s}
(c) u_{R,\text{class}}\approx 5,005\times 10^{-4}\,c \approx 1,50\times 10^{5}\\ \mathrm{m/s}

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