Um foguete com
tem
de combustível a bordo. O foguete está parado no espaço quando de repente torna-se necessário acelerar. A ignição dos motores do foguete é feita e o combustível de
é consumido. O gás de escape (combustível gasto) é lançado durante um curto intervalo de tempo numa velocidade de
em relação a
- o referencial inercial no qual o foguete está inicialmente em repouso.
a) Calcule a variação da massa do sistema foguete-combustível.
b) Calcule a velocidade final do foguete
em relação a
.
c) De novo, calcule a velocidade final do foguete em relação a
, mas usando a mecânica clássica (newtoniana).
a) Calcule a variação da massa do sistema foguete-combustível.
b) Calcule a velocidade final do foguete
c) De novo, calcule a velocidade final do foguete em relação a
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede 3 coisas. Dados (todos em relação ao referencial
onde o foguete estava inicialmente em repouso):
Após a queima o foguete tem massa de repouso (rest mass)
O que o problema pede:
(a) calcular a variação da massa do sistema foguete+combustível (ou seja, da massa-invariante / massa de repouso do sistema como um todo);
(b) calcular a velocidade final do foguete em relação a
usando relatividade (ou seja, conservação relativística de energia e momento);
(c) recalcular usando a mecânica clássica (newtoniana).
(a) calcular a variação da massa do sistema foguete+combustível (ou seja, da massa-invariante / massa de repouso do sistema como um todo);
(b) calcular a velocidade final do foguete
(c) recalcular
Passo 2
Conservação relativística: em relatividade a quantidade conservada é o quadrivetor momento-energia. Em
, inicialmente o sistema está em repouso, então o momento total inicial é zero e a energia total inicial é simplesmente a energia de repouso:
Após a queima temos duas partes móveis: o foguete (com massa de repouso
) e os gases expulsos (massa de repouso
) com velocidade
. Devemos aplicar:
conservação do momento linear
conservação do momento linear
e conservação da energia total
Aqui eu defini:
Essas duas equações vêm diretamente da expressão relativística para energia
e momento
. Note: o sinal das velocidades é tal que o momento total final é zero (momento do foguete na direção positiva cancela o dos gases).
Passo 3
Calculo de
para os gases:
Vou usar
.
Passo 4
Isolar
. Das equações de conservação temos duas equações em duas incógnitas
e
. Uma forma prática é dividir a equação do momento pela equação da energia (isso elimina
):
Isso simplifica para
Multiplicando por
obtemos a fórmula direta para
:
Esta expressão é bastante intuitiva: o numerador é (relativisticamente) o momento “efetivo” fornecido pelos gases e o denominador é a massa de repouso que fica “acelerando” (corrigida pelo fator
que aparece porque a energia dos gases participa da conservação).
Passo 5
Substituição numérica na expressão relativística. Primeiro alguns valores já calculados:
Usando
e
:
Calculemos a razão em unidades de
:
Portanto
Convertendo para
usando
:
Passo 6
Resposta à parte (a) — variação da massa do sistema foguete+combustível. Como o sistema inteiro é isolado (sem perda de energia para fora do sistema) e inicialmente está em repouso em
, a massa-invariante (massa de repouso total do sistema) é dada por
Após a queima, a energia total final (soma das energias dos dois corpos) é igual à energia total inicial (conservação de energia):
No referencial onde o momento total é zero (aqui é
inicialmente), a massa-invariante final do sistema é
. Como
, segue imediatamente
Logo a variação da massa do sistema é zero:
Intuição física: a energia química/ térmica transformada em energia cinética permanece dentro do sistema (nos gases e no foguete), então a massa-invariante total do sistema não muda.
Passo 7
Cálculo clássico (newtoniano) para (c). Na mecânica clássica usamos conservação do momento simples (sem fatores
):
Logo
Em unidades de
:
ou em
:
Observação: a diferença entre os resultados relativístico e clássico não é enorme (ambos na faixa de
) porque a razão massa do combustível / massa total é muito pequena; ainda assim o resultado relativístico é um pouco maior por causa do fator
.
Passo 8
Resumo rápido do que fizemos (pra te animar): usamos conservação relativística de momento e energia para obter uma expressão fechada para
, calculamos numericamente e depois fizemos o mesmo com a fórmula clássica para comparar. Dá pra aplicar esse mesmo procedimento a outros problemas parecidos (sempre escreva as equações de conservação e elimine incógnitas de forma algébrica).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)