Um observador
numa nave espacial que possui um dispositivo emissor de sinais luminosos e um espelho. O observador
está parado junto ao dispositivo emissor de sinais luminosos. A distância entre o dispositivo e o espelho é de 15 minutos-luz (escrevemos
) e a nave espacial, em repouso no referencial
, viaja com velocidade
em relação a uma plataforma espacial muito comprida, que está em repouso no referencial
. A plataforma possui dois relógios sincronizados, um relógio na posição
, que é a posição da nave espacial quando o observador liga o dispositivo, emitindo um sinal luminoso, e o outro relógio está na posição
, que é a posição da nave espacial quando a luz emitida pelo dispositivo retorna ao próprio dispositivo vinda do espelho.
Encontre o intervalo de tempo entre os dois eventos (emissão do sinal luminoso pelo dispositivo e retorno do sinal luminoso ao dispositivo, vindo do espelho):
(a) no referencial da nave espacial.
(b) no referencial da plataforma.
Obtenha também:
(c) a distância percorrida pela nave espacial.
(d) a quantidade pela qual os relógios da plataforma estão fora de sincronização, de acordo com os observadores na nave espacial.
(a) no referencial da nave espacial.
(b) no referencial da plataforma.
(c) a distância percorrida pela nave espacial.
(d) a quantidade pela qual os relógios da plataforma estão fora de sincronização, de acordo com os observadores na nave espacial.
Passo 1
O enunciado pede que encontremos o intervalo de tempo entre dois eventos: (i) a emissão de um pulso luminoso pelo dispositivo que está na nave e (ii) o retorno desse pulso ao mesmo dispositivo após reflexão num espelho colocado a uma distância de 15 minutos-luz da fonte, e que está fixo na nave. Precisamos calcular esse intervalo em dois referenciais diferentes e também tirar duas outras grandezas. Informações dadas e perguntas:
- Distância entre emissor e espelho, medida no referencial da nave
: (isto é, minutos-luz). - Velocidade da nave (em relação à plataforma
): - A plataforma
tem dois relógios sincronizados em : um na posição (posição da nave quando o sinal é emitido) e outro em (posição da nave quando o sinal retorna). Ou seja, é a distância que a nave percorre, medida em , entre emissão e recepção. - Perguntas:
(a) intervalo de tempo entre emissão e recepção no referencial da nave;
(b) intervalo de tempo entre os mesmos eventos no referencial da plataforma;
(c) distância percorrida pela nave (em) durante esse intervalo;
(d) quanto os relógios da plataforma (sincronizados em) estão fora de sincronização segundo observadores da nave .
Passo 2
Resolvendo (a): intervalo no referencial da nave
.
- Na nave
o emissor e o espelho estão em repouso e separados por . A luz viaja com velocidade . O tempo que a luz leva para ir do emissor ao espelho é
- O retorno (espelho → emissor) leva o mesmo tempo, porque a configuração é simétrica no referencial da nave. Logo o tempo total (ida + volta) é
Também vale notar (conceito útil para a prova): como os dois eventos (emissão e recepção) ocorrem no mesmo ponto da nave (mesmo lugar do emissor), o intervalo
é o tempo próprio (proper time) para esse par de eventos.
Passo 3
Resolvendo (b): intervalo no referencial da plataforma
.
Método escolhido e por quê: como os dois eventos ocorrem no mesmo ponto na nave,
é tempo próprio. A relação entre o tempo medido em
(tempo coordenado
) e o tempo próprio
é dada pela dilatação do tempo:
onde
é o fator de Lorentz. Essa é a forma mais simples e direta; poderíamos igualmente aplicar as transformações de Lorentz evento a evento, mas usar dilatação é mais rápido e totalmente rigoroso neste caso.
- Calcule
para :
- Aplicando dilatação:
. Então
Comentário didático curto sobre a fórmula usada: a dilatação do tempo diz que um relógio que mede um intervalo entre dois eventos que ocorrem no mesmo lugar no seu próprio referencial (tempo próprio) aparecerá a um observador que vê o relógio em movimento registrando um intervalo maior, multiplicado por
.
Passo 4
Resolvendo (c): distância percorrida pela nave no referencial da plataforma
.
- No referencial
o intervalo entre emissão e recepção é (passo anterior). A nave move-se com velocidade . - Distância percorrida:
Interpretação: em unidades de “minutos-luz”, a nave percorre
minutos-luz nesse intervalo.
Passo 5
Resolvendo (d): quanto os relógios da plataforma estão fora de sincronização segundo observadores na nave
.
Explicação do conceito usado: relógios que são sincronizados em
não são em geral sincronizados em
— isso é a relatividade da simultaneidade. Para quantificar: se em
dois relógios estão em posições
e
e marcando o mesmo tempo
(são sincronizados em
), observadores em
que consideram eventos simultâneos em
verão leituras diferentes nesses relógios. Uma forma direta de obter a diferença é usar a transformação de Lorentz para tempo:
Queremos a diferença entre as leituras dos dois relógios da plataforma no mesmo instante em
. Escolhendo o instante
(qualquer instante em
serve para medir a diferença), resolver para o tempo
em
que corresponde a um evento com coordenada
dá:
Portanto, o relógio da plataforma na posição
mostra o tempo
no instante
. Assim, a diferença entre os dois relógios (em
e
) medida em simultaneidade de
é
- Aqui
é precisamente a distância que a nave percorreu em entre emissão e recepção, que calculamos no passo 4 como . - Substituindo:
Interpretação: segundo observadores na nave, o relógio da plataforma situado em
(posição posterior, onde a nave estará na recepção) está adiantado em relação ao relógio em
por
. Ou seja, quando os observadores da nave olham para os dois relógios ao mesmo tempo no referencial deles, o relógio em
indica um tempo
maior que o relógio em
.
Resposta
(a)
(b)
(c) (ou seja,
minutos-luz).
(d) (o relógio em
está adiantado em relação ao de
por
, segundo a nave).
(b)
(c)
(d)