Um observador A^{\prime} numa nave espacial que possui um dispositivo emissor de sinais luminosos e um espelho. O observador A^{\prime} está parado junto ao dispositivo emissor de sinais luminosos. A distância entre o dispositivo e o espelho é de 15 minutos-luz (escrevemos 15 c . \mathrm{min} ) e a nave espacial, em repouso no referencial S^{\prime}, viaja com velocidade v=0,80 c em relação a uma plataforma espacial muito comprida, que está em repouso no referencial S. A plataforma possui dois relógios sincronizados, um relógio na posição x_{1}, que é a posição da nave espacial quando o observador liga o dispositivo, emitindo um sinal luminoso, e o outro relógio está na posição x_{2}, que é a posição da nave espacial quando a luz emitida pelo dispositivo retorna ao próprio dispositivo vinda do espelho.
Encontre o intervalo de tempo entre os dois eventos (emissão do sinal luminoso pelo dispositivo e retorno do sinal luminoso ao dispositivo, vindo do espelho):
(a) no referencial da nave espacial.
(b) no referencial da plataforma.
Obtenha também:
(c) a distância percorrida pela nave espacial.
(d) a quantidade pela qual os relógios da plataforma estão fora de sincronização, de acordo com os observadores na nave espacial.

Passo 1

O enunciado pede que encontremos o intervalo de tempo entre dois eventos: (i) a emissão de um pulso luminoso pelo dispositivo que está na nave e (ii) o retorno desse pulso ao mesmo dispositivo após reflexão num espelho colocado a uma distância de 15 minutos-luz da fonte, e que está fixo na nave. Precisamos calcular esse intervalo em dois referenciais diferentes e também tirar duas outras grandezas. Informações dadas e perguntas:
  • Distância entre emissor e espelho, medida no referencial da nave S': \,15\;c\cdot\mathrm{min}\, (isto é, 15 minutos-luz).
  • Velocidade da nave (em relação à plataforma S): \,v=0{,}80\,c\,.
  • A plataforma S tem dois relógios sincronizados em S: um na posição x_1 (posição da nave quando o sinal é emitido) e outro em x_2 (posição da nave quando o sinal retorna). Ou seja, x_2-x_1 é a distância que a nave percorre, medida em S, entre emissão e recepção.
  • Perguntas:
    (a) intervalo de tempo entre emissão e recepção no referencial da nave S';
    (b) intervalo de tempo entre os mesmos eventos no referencial da plataforma S;
    (c) distância percorrida pela nave (em S) durante esse intervalo;
    (d) quanto os relógios da plataforma (sincronizados em S) estão fora de sincronização segundo observadores da nave S'.

Passo 2

Resolvendo (a): intervalo no referencial da nave S'.
  • Na nave S' o emissor e o espelho estão em repouso e separados por \,15\;c\cdot\mathrm{min}\,. A luz viaja com velocidade c. O tempo que a luz leva para ir do emissor ao espelho é
t_{\text{ida}}'=\frac{\text{distância}}{c}=\frac{15\;c\cdot\mathrm{min}}{c}=15\;\mathrm{min}.â
  • O retorno (espelho → emissor) leva o mesmo tempo, porque a configuração é simétrica no referencial da nave. Logo o tempo total (ida + volta) é
\Delta t' = t_{\text{ida}}' + t_{\text{volta}}' = 15\;\mathrm{min} + 15\;\mathrm{min} = 30\;\mathrm{min}.
Também vale notar (conceito útil para a prova): como os dois eventos (emissão e recepção) ocorrem no mesmo ponto da nave (mesmo lugar do emissor), o intervalo \Delta t' é o tempo próprio (proper time) para esse par de eventos.

Passo 3

Resolvendo (b): intervalo no referencial da plataforma S.
Método escolhido e por quê: como os dois eventos ocorrem no mesmo ponto na nave, \Delta t' é tempo próprio. A relação entre o tempo medido em S (tempo coordenado \Delta t) e o tempo próprio \Delta \tau=\Delta t' é dada pela dilatação do tempo:
\Delta t = \gamma\,\Delta \tau,
onde \gamma é o fator de Lorentz. Essa é a forma mais simples e direta; poderíamos igualmente aplicar as transformações de Lorentz evento a evento, mas usar dilatação é mais rápido e totalmente rigoroso neste caso.
  • Calcule \gamma para \,v=0{,}80\,c:
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\quad\text{com}\quad \beta=\frac{v}{c}=0{,}80,
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(0{,}8)^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-0{,}64}}=\frac{1}{\sqrt{0{,}36}}=\frac{1}{0{,}6}=\frac{5}{3}\approx1{,}666\ldots
  • Aplicando dilatação: \Delta \tau=\Delta t'=30\;\mathrm{min}. Então
\Delta t = \gamma\,\Delta t' = \frac{5}{3}\times 30\;\mathrm{min}=50\;\mathrm{min}.
Comentário didático curto sobre a fórmula usada: a dilatação do tempo diz que um relógio que mede um intervalo entre dois eventos que ocorrem no mesmo lugar no seu próprio referencial (tempo próprio) aparecerá a um observador que vê o relógio em movimento registrando um intervalo maior, multiplicado por \gamma.

Passo 4

Resolvendo (c): distância percorrida pela nave no referencial da plataforma S.
  • No referencial S o intervalo entre emissão e recepção é \Delta t=50\;\mathrm{min} (passo anterior). A nave move-se com velocidade \,v=0{,}80\,c.
  • Distância percorrida:
\Delta x = v\,\Delta t = 0{,}80\,c \times 50\;\mathrm{min} = 40\;c\cdot\mathrm{min}.
Interpretação: em unidades de “minutos-luz”, a nave percorre 40 minutos-luz nesse intervalo.

Passo 5

Resolvendo (d): quanto os relógios da plataforma estão fora de sincronização segundo observadores na nave S'.
Explicação do conceito usado: relógios que são sincronizados em S não são em geral sincronizados em S' — isso é a relatividade da simultaneidade. Para quantificar: se em S dois relógios estão em posições x_1 e x_2 e marcando o mesmo tempo t (são sincronizados em S), observadores em S' que consideram eventos simultâneos em S' verão leituras diferentes nesses relógios. Uma forma direta de obter a diferença é usar a transformação de Lorentz para tempo:
t'=\gamma\left(t-\frac{v x}{c^2}\right).
Queremos a diferença entre as leituras dos dois relógios da plataforma no mesmo instante em S'. Escolhendo o instante t'=0 (qualquer instante em S' serve para medir a diferença), resolver para o tempo t em S que corresponde a um evento com coordenada x dá:
t=\frac{v x}{c^2}\quad\text{quando }t'=0.
Portanto, o relógio da plataforma na posição x mostra o tempo t=\dfrac{v x}{c^2} no instante t'=0. Assim, a diferença entre os dois relógios (em x_2 e x_1) medida em simultaneidade de S' é
\Delta t_{\text{fora-de-sinc}} = t(x_2)-t(x_1)=\frac{v\,(x_2-x_1)}{c^2}.
  • Aqui x_2-x_1 é precisamente a distância que a nave percorreu em S entre emissão e recepção, que calculamos no passo 4 como \Delta x=40\;c\cdot\mathrm{min}.
  • Substituindo:
\Delta t_{\text{fora-de-sinc}}=\frac{v\,\Delta x}{c^2}=\frac{0{,}80\,c \times 40\;c\cdot\mathrm{min}}{c^2}=0{,}80\times40\;\mathrm{min}=32\;\mathrm{min}.
Interpretação: segundo observadores na nave, o relógio da plataforma situado em x_2 (posição posterior, onde a nave estará na recepção) está adiantado em relação ao relógio em x_1 por 32\;\mathrm{min}. Ou seja, quando os observadores da nave olham para os dois relógios ao mesmo tempo no referencial deles, o relógio em x_2 indica um tempo 32\;\mathrm{min} maior que o relógio em x_1.

Resposta

(a) \displaystyle 30\;\mathrm{min}.
(b) \displaystyle 50\;\mathrm{min}.
(c) \displaystyle 40\;c\cdot\mathrm{min} (ou seja, 40 minutos-luz).
(d) \displaystyle 32\;\mathrm{min} (o relógio em x_{2} está adiantado em relação ao de x_{1} por 32\;\mathrm{min}, segundo a nave).

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