Um avião supersônico se afasta de você, indo na direção +x, com a velocidade de 1000 \mathrm{~m} / \mathrm{s} (cerca de 3 vezes a velocidade do som) em relação a você. Um segundo avião, viajando na mesma direção e na frente do primeiro avião, se afasta de você e se afasta do primeiro avião, a uma velocidade de 500 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em relação ao primeiro avião.
a) Qual a velocidade com que o segundo avião se move em relação a você?
b) Repita o item anterior considerando que o primeiro avião se move com velocidade de 0,80 c em relação ao observador e que o segundo avião se move com a mesma velocidade de 0,80 c em relação ao primeiro.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (vou listar exatamente o que o exercício dá e o que pede):
  • Um observador (você) em repouso relativo ao referencial de origem.
  • Primeiro avião (vou chamar de primeiro avião ou aviã0 1) move-se na direção +x com velocidade relativa a você igual a 1000\\ \mathrm{m/s}.
  • Segundo avião (à frente do primeiro) move-se na mesma direção e se afasta do primeiro com velocidade relativa ao primeiro igual a 500\\ \mathrm{m/s}.
  • Pergunta (a): qual a velocidade do segundo avião em relação a você?
  • Pergunta (b): repetir (a) mas agora supondo que o primeiro se move com velocidade 0,80c em relação ao observador e o segundo se move com velocidade 0,80c em relação ao primeiro, onde c é a velocidade da luz.

Passo 2

Entendendo o que precisamos calcular no item (a) e as variáveis envolvidas:
  • Defino variáveis para ficar claro:
    • v_{1} = velocidade do primeiro avião em relação a você. Aqui v_{1}=1000\\ \mathrm{m/s}.
    • v_{2|1} = velocidade do segundo avião em relação ao primeiro. Aqui v_{2|1}=500\\ \mathrm{m/s}.
    • v_{2} = velocidade do segundo avião em relação a você (o que queremos achar).
  • Observação importante para (a): as velocidades dadas ( 1000\\ \mathrm{m/s} e 500\\ \mathrm{m/s}) são muito pequenas comparadas a c. Nessa situação podemos usar a adição de velocidades clássica (mecânica newtoniana / galileana).

Passo 3

Fórmula clássica (galileana) de adição de velocidades e por que ela vale aqui:
  • A regra clássica para objetos indo na mesma direção (mesmo sentido) é:
v_{2} = v_{1} + v_{2|1}.
  • O significado: se o primeiro vai a v_{1} em relação a mim e o segundo vai a v_{2|1} em relação ao primeiro, então, na aproximação clássica, somamos as velocidades porque os tempos e comprimentos são os mesmos nos dois referenciais.
  • Como as velocidades são muito menores que c, efeitos relativísticos são desprezíveis e essa fórmula é adequada.

Passo 4

Cálculo numérico do item (a) passo a passo:
  • Substituo os números na fórmula clássica:
v_{2} = 1000\\ \mathrm{m/s} + 500\\ \mathrm{m/s}.
  • Soma explícita:
v_{2} = 1500\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação: o segundo avião afasta-se de você a 1500\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Agora o item (b): por que precisamos de outra fórmula e definição das variáveis:
  • Quando as velocidades são frações significativas de c (por exemplo 0,80c), a adição clássica pode dar resultados maiores que c, o que é fisicamente impossível segundo a teoria da relatividade especial.
  • Para velocidades relativísticas usamos a fórmula de adição de velocidades relativística para colinearidade (mesma direção):
v = \frac{u + v'}{1 + \dfrac{u\,v'}{c^{2}}},
onde:
  • u = velocidade do primeiro referencial (aqui: velocidade do primeiro avião em relação ao observador).
  • v' = velocidade do objeto no referencial que se move a u (aqui: velocidade do segundo avião em relação ao primeiro).
  • v = velocidade do objeto (segundo avião) no referencial do observador.
  • Explicação intuitiva: o denominador corrige a soma para evitar ultrapassar c; a fórmula vem diretamente das transformações de Lorentz aplicadas à razão \mathrm{d}x/\mathrm{d}t.

Passo 6

Aplicando a fórmula relativística com os valores do enunciado:
  • Dados: u=0,80c e v'=0,80c.
  • Calculando o numerador:
u + v' = 0,80c + 0,80c = 1,60c.
  • Calculando o termo do denominador:
\dfrac{u\,v'}{c^{2}} = 0,80 \times 0,80 = 0,64.
  • Portanto o denominador é 1 + 0,64 = 1,64.
  • Substituindo na fórmula:
v = \frac{1,60c}{1,64}.
  • Simplificando a fração:
\frac{1,60}{1,64} = \frac{160}{164} = \frac{40}{41}.
  • Logo
v = \frac{40}{41}\,c.

Passo 7

Converter o resultado relativístico para forma decimal e em \mathrm{m/s} (para ficar numérico):
  • Fração decimal:
\frac{40}{41} \approx 0,975609756\dots \approx 0,9756.
  • Em função de c:
v \approx 0,9756\,c.
  • Se usar c \approx 3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}, então
v \approx 0,975609756\times 3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}\approx 2{,}93\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Observação: o resultado está abaixo de c, como deve ser.

Passo 8

Dicas de prova e conclusão pedagógica (curta e prática):
  • Para velocidades pequenas ( \ll c) use a soma clássica v=v_{1}+v_{2|1}.
  • Para velocidades relativísticas use sempre
v=\frac{u+v'}{1+\dfrac{u v'}{c^{2}}}
e cuidado com sinais (se forem sentidos opostos, aparece sinal negativo).
  • Em questões numéricas, deixar a resposta exata em termos de c (por exemplo \dfrac{40}{41}c) é elegante; depois pode aproximar em decimal e em \mathrm{m/s} se pedirem.

Resposta

1500\\ \mathrm{m/s}
\dfrac{40}{41}\,c \approx 0,9756\,c \approx 2{,}93\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}

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