Um avião supersônico se afasta de você, indo na direção
, com a velocidade de
(cerca de 3 vezes a velocidade do som) em relação a você. Um segundo avião, viajando na mesma direção e na frente do primeiro avião, se afasta de você e se afasta do primeiro avião, a uma velocidade de
em relação ao primeiro avião.
a) Qual a velocidade com que o segundo avião se move em relação a você?
b) Repita o item anterior considerando que o primeiro avião se move com velocidade de
em relação ao observador e que o segundo avião se move com a mesma velocidade de
em relação ao primeiro.
a) Qual a velocidade com que o segundo avião se move em relação a você?
b) Repita o item anterior considerando que o primeiro avião se move com velocidade de
Passo 1
Enunciado e dados importantes (vou listar exatamente o que o exercício dá e o que pede):
- Um observador (você) em repouso relativo ao referencial de origem.
- Primeiro avião (vou chamar de primeiro avião ou aviã0 1) move-se na direção
com velocidade relativa a você igual a . - Segundo avião (à frente do primeiro) move-se na mesma direção e se afasta do primeiro com velocidade relativa ao primeiro igual a
. - Pergunta (a): qual a velocidade do segundo avião em relação a você?
- Pergunta (b): repetir (a) mas agora supondo que o primeiro se move com velocidade
em relação ao observador e o segundo se move com velocidade em relação ao primeiro, onde é a velocidade da luz.
Passo 2
Entendendo o que precisamos calcular no item (a) e as variáveis envolvidas:
- Defino variáveis para ficar claro:
-
= velocidade do primeiro avião em relação a você. Aqui . -
= velocidade do segundo avião em relação ao primeiro. Aqui . -
= velocidade do segundo avião em relação a você (o que queremos achar).
-
- Observação importante para (a): as velocidades dadas (
e ) são muito pequenas comparadas a . Nessa situação podemos usar a adição de velocidades clássica (mecânica newtoniana / galileana).
Passo 3
Fórmula clássica (galileana) de adição de velocidades e por que ela vale aqui:
- A regra clássica para objetos indo na mesma direção (mesmo sentido) é:
- O significado: se o primeiro vai a
em relação a mim e o segundo vai a em relação ao primeiro, então, na aproximação clássica, somamos as velocidades porque os tempos e comprimentos são os mesmos nos dois referenciais. - Como as velocidades são muito menores que
, efeitos relativísticos são desprezíveis e essa fórmula é adequada.
Passo 4
Cálculo numérico do item (a) passo a passo:
- Substituo os números na fórmula clássica:
- Soma explícita:
- Interpretação: o segundo avião afasta-se de você a
.
Passo 5
Agora o item (b): por que precisamos de outra fórmula e definição das variáveis:
- Quando as velocidades são frações significativas de
(por exemplo ), a adição clássica pode dar resultados maiores que , o que é fisicamente impossível segundo a teoria da relatividade especial. - Para velocidades relativísticas usamos a fórmula de adição de velocidades relativística para colinearidade (mesma direção):
onde:
-
= velocidade do primeiro referencial (aqui: velocidade do primeiro avião em relação ao observador). -
= velocidade do objeto no referencial que se move a (aqui: velocidade do segundo avião em relação ao primeiro). -
= velocidade do objeto (segundo avião) no referencial do observador. - Explicação intuitiva: o denominador corrige a soma para evitar ultrapassar
; a fórmula vem diretamente das transformações de Lorentz aplicadas à razão .
Passo 6
Aplicando a fórmula relativística com os valores do enunciado:
- Dados:
e . - Calculando o numerador:
- Calculando o termo do denominador:
- Portanto o denominador é
. - Substituindo na fórmula:
- Simplificando a fração:
- Logo
Passo 7
Converter o resultado relativístico para forma decimal e em
(para ficar numérico):
- Fração decimal:
- Em função de
:
- Se usar
, então
- Observação: o resultado está abaixo de
, como deve ser.
Passo 8
Dicas de prova e conclusão pedagógica (curta e prática):
- Para velocidades pequenas (
) use a soma clássica . - Para velocidades relativísticas use sempre
e cuidado com sinais (se forem sentidos opostos, aparece sinal negativo).
- Em questões numéricas, deixar a resposta exata em termos de
(por exemplo ) é elegante; depois pode aproximar em decimal e em se pedirem.