Um foguete deve ser lançado verticalmente. Sua massa inicial é M_{0}, a velocidade de exaustão -u é constante e a taxa de exaustão -(d M / d t)=A é constante. Depois que a massa total \Delta M é consumida, o combustível do foguete acaba.
a) Desprezando-se a resistência do ar e supondo que a aceleração da gravidade g seja constante, escreva e resolva as equaçōes do movimento.
*b) Mostre que se M_{0}, u e \Delta M forem fixados, então a maior taxa de exaustão A, isto é, a que consome o combustível mais rapidamente, corresponderá à maior altitude máxima atingida pelo foguete.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
  • Dados conhecidos: M_0\quad(\text{massa inicial do foguete}),\qquad u>0\quad(\text{velocidade de exaustão, sentido para baixo}),ã
-\frac{dM}{dt}=A\quad(\text{taxa constante de exaustão}),\qquad \Delta M\quad(\text{massa total de combustível consumida}),ãí
g\quad(\text{aceleração da gravidade constante, para baixo}),\qquad\text{resistência do ar desprezível.}çãêí
  • Condição de término do empuxo: o combustível termina quando a massa total consumida atinge \Delta M. O tempo de queima é t_f=\frac{\Delta M}{A}.
  • Perguntas:
    (a) escrever e resolver as equações do movimento (ou seja, obter v(t) e y(t) durante a queima, e expressões em t_f para velocidade e posição no fim da queima);
    (b) mostrar que, para M_0,u,\Delta M fixos, quanto maior for A (queimando mais rápido) maior será a altura máxima alcançada.

Passo 2

Montando a equação do movimento por conservação de quantidade de movimento (passo-a-passo e com convenções de sinal):
  • Convenção: direção para cima é positiva. A velocidade do foguete é v(t) (positiva para cima). A massa do foguete é M(t) e decresce com o tempo: M(t)=M_0 - A t enquanto há combustível.
  • Em um intervalo pequeno dt, a massa do foguete muda em dM com dM=-A\,dt<0. Uma massa elementar -dM>0 é expelida para baixo com velocidade relativa u (isto é, em relação ao foguete o gás sai com velocidade -u; em relação ao solo a velocidade do gás é aproximadamente v-u).
  • A variação de momento linear do foguete (sistema foguete) devido à ejeção -dM é: o foguete, ao perder massa -dM, ganha impulso aproximadamente u(-dM) para cima.
  • Incluindo a força peso (para baixo) durante dt, a equação de impulso é: M\,dv = -u\,dM - M g\,dt.Explicação das parcelas: -u\,dM é o impulso (positivo para cima porque dM<0), e -M g\,dt é a variação de momento causada pela gravidade (força para baixo).

Passo 3

Transformando a equação diferencial em uma forma integrável:
  • Reescrevendo M\,dv = -u\,dM - M g\,dt em diferencial total: dv = -u\frac{dM}{M} - g\,dt.Aqui usei M>0 e dividi por M.
  • Integro de t=0 (condição inicial v(0)=0) até tempo arbitrário t (durante a queima, 0\le t\le t_f): \int_{0}^{v(t)} dv = -u \int_{M_0}^{M(t)} \frac{dM}{M} - g\int_{0}^{t} dt.
  • As integrais são elementares: \int dM/M = \ln M e \int dt = t. Portanto v(t)= -u\big(\ln M(t) - \ln M_0\big) - g t = u\ln\!\frac{M_0}{M(t)} - g t.

Passo 4

Substituindo M(t)=M_0 - A t e explicitando o tempo de término da queima:
  • Durante a queima ( 0\le t\le t_f) a velocidade é v(t)=u\ln\!\left(\frac{M_0}{M_0 - A t}\right)-g t.
  • O tempo de queima é t_f=\dfrac{\Delta M}{A}. A velocidade no fim da queima (queimador apaga) é v_f \equiv v(t_f)=u\ln\!\left(\frac{M_0}{M_0-\Delta M}\right)-g\frac{\Delta M}{A}.

Passo 5

Agora obter a posição y(t) (altitude) durante a queima, integrando v(t):
  • Com y(0)=0, y(t)=\int_{0}^{t} v(s)\,ds = u\int_{0}^{t}\ln\!\left(\frac{M_0}{M_0 - A s}\right)ds -\frac{1}{2}g t^2.
  • Para calcular a integral expondo os passos: faça a substituição m=M_0 - A s, então dm=-A ds e quando s=0 tem m=M_0, quando s=t tem m=M_0 - A t. Assim \int_{0}^{t}\ln\!\left(\frac{M_0}{M_0 - A s}\right)ds =\frac{1}{A}\int_{M_0-A t}^{M_0}\ln\!\left(\frac{M_0}{m}\right)dm.
  • A integral \int \ln\!\left(\frac{M_0}{m}\right)dm pode ser feita escrevendo \ln\!\left(\frac{M_0}{m}\right)=\ln M_0 - \ln m e usando \int \ln m\,dm = m\ln m - m. Fazendo as contas (detalhes omitidos por extenso mas elementares) obtemos \int_{0}^{t}\ln\!\left(\frac{M_0}{M_0 - A s}\right)ds = t - \frac{M_0 - A t}{A}\ln\!\left(\frac{M_0}{M_0 - A t}\right).
  • Portanto a posição durante a queima é y(t)=u t - \frac{u}{A}\big(M_0 - A t\big)\ln\!\left(\frac{M_0}{M_0 - A t}\right) -\frac{1}{2}g t^2,\qquad 0\le t\le t_f.(Consistência: em t=0 a expressão dá y(0)=0.)

Passo 6

Posição e velocidade no instante de burnout t_f=\dfrac{\Delta M}{A}:
  • Substituindo t_f e M_0-A t_f=M_0-\Delta M (denotarei m_f=M_0-\Delta M para clareza) obtemos v_f = u\ln\!\left(\frac{M_0}{m_f}\right) - g\frac{\Delta M}{A},
y(t_f)=\frac{u}{A}\Big(\Delta M - m_f\ln\!\frac{M_0}{m_f}\Big) - \frac{1}{2}g\frac{(\Delta M)^2}{A^2}.

Passo 7

Altura máxima: depois do burnout o foguete sobe livremente com velocidade inicial v_f e desaceleração g. A subida adicional após t_f até a altura máxima é \dfrac{v_f^2}{2g}. Logo a altura máxima total H é
H = y(t_f) + \frac{v_f^2}{2g}.
Substituindo v_f e y(t_f) e simplificando (faço a simplificação completa no passo seguinte) dá-se a expressão final de H.

Passo 8

Simplificação explícita de H e dependência em A:
  • Denote L=\ln\!\left(\frac{M_0}{M_0-\Delta M}\right)>0,\qquad m_f=M_0-\Delta M.
  • Escrevendo v_f=uL - g\frac{\Delta M}{A} e y(t_f)=\dfrac{u}{A}\big(\Delta M - m_f L\big)-\dfrac{1}{2}g\dfrac{(\Delta M)^2}{A^2}, substituindo em H e agrupando termos obtemos, após cancelar os termos em A^{-2}, H=\frac{u^2 L^2}{2g}+\frac{u}{A}\big(\Delta M - M_0 L\big).Observação importante: o termo \dfrac{u^2 L^2}{2g} é independente de A; toda dependência em A está no segundo termo \dfrac{u}{A}(\Delta M - M_0 L).
  • Agora avaliamos o sinal do coeficiente dentro do parêntese: M_0 L = M_0\ln\!\Big(\frac{M_0}{M_0-\Delta M}\Big) > \Delta M,porque para 0< x<1 vale \ln\!\dfrac{1}{1-x}>\!x (a desigualdade clássica \ln(1+y)<y aplicada adequadamente). Portanto \Delta M - M_0 L <0.
  • Derivando H em função de A (para A>0) obtemos \frac{dH}{dA} = -\frac{u}{A^2}\big(\Delta M - M_0 L\big)=\frac{u}{A^2}\big(M_0 L - \Delta M\big)>0.Assim H é estritamente crescente em A.

Passo 9

Conclusão física e matemática (síntese):
  • Resultado: para M_0,u,\Delta M fixos, H cresce quando A aumenta; portanto a maior taxa de exaustão A (ou seja, o consumo mais rápido do combustível) dá a maior altura máxima.
  • Intuição curta: queimando mais rápido você gera o impulso necessário mais cedo, gastando menos tempo contra a gravidade durante a queima; matematicamente isso aparece porque o termo dependente de A é negativo e decresce em magnitude quando A aumenta, tornando H maior.

Resposta

(a) Durante a queima ( 0\le t\le t_f, com t_f=\dfrac{\Delta M}{A} e M(t)=M_0-A t):
v(t)=u\ln\!\left(\frac{M_0}{M_0-A t}\right)-g t,
y(t)=u t-\frac{u}{A}\big(M_0-A t\big)\ln\!\left(\frac{M_0}{M_0-A t}\right)-\frac{1}{2}g t^2.
No fim da queima ( t=t_f, com m_f=M_0-\Delta M e L=\ln\!\tfrac{M_0}{m_f}):
v_f=uL - g\frac{\Delta M}{A},\qquad y(t_f)=\frac{u}{A}\Big(\Delta M - m_f L\Big)-\frac{1}{2}g\frac{(\Delta M)^2}{A^2}.
A altura máxima total é
H=y(t_f)+\frac{v_f^2}{2g}=\frac{u^2 L^2}{2g}+\frac{u}{A}\big(\Delta M - M_0 L\big).
(b) Como M_0 L>\Delta M, tem \dfrac{dH}{dA}=\dfrac{u}{A^2}\big(M_0 L-\Delta M\big)>0. Logo H é crescente em A: para M_0,u,\Delta M fixos, quanto maior A (queima mais rápida) maior a altura máxima.

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