Um foguete deve ser lançado verticalmente. Sua massa inicial é
, a velocidade de exaustão
é constante e a taxa de exaustão
é constante. Depois que a massa total
é consumida, o combustível do foguete acaba.
a) Desprezando-se a resistência do ar e supondo que a aceleração da gravidade
seja constante, escreva e resolva as equaçōes do movimento.
*b) Mostre que se
e
forem fixados, então a maior taxa de exaustão
, isto é, a que consome o combustível mais rapidamente, corresponderá à maior altitude máxima atingida pelo foguete.
a) Desprezando-se a resistência do ar e supondo que a aceleração da gravidade
*b) Mostre que se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
- Dados conhecidos:
- Condição de término do empuxo: o combustível termina quando a massa total consumida atinge
. O tempo de queima é - Perguntas:
(a) escrever e resolver as equações do movimento (ou seja, obtere durante a queima, e expressões em para velocidade e posição no fim da queima);
(b) mostrar que, parafixos, quanto maior for (queimando mais rápido) maior será a altura máxima alcançada.
Passo 2
Montando a equação do movimento por conservação de quantidade de movimento (passo-a-passo e com convenções de sinal):
- Convenção: direção para cima é positiva. A velocidade do foguete é
(positiva para cima). A massa do foguete é e decresce com o tempo: enquanto há combustível. - Em um intervalo pequeno
, a massa do foguete muda em com . Uma massa elementar é expelida para baixo com velocidade relativa (isto é, em relação ao foguete o gás sai com velocidade ; em relação ao solo a velocidade do gás é aproximadamente ). - A variação de momento linear do foguete (sistema foguete) devido à ejeção
é: o foguete, ao perder massa , ganha impulso aproximadamente para cima. - Incluindo a força peso (para baixo) durante
, a equação de impulso é: Explicação das parcelas: é o impulso (positivo para cima porque ), e é a variação de momento causada pela gravidade (força para baixo).
Passo 3
Transformando a equação diferencial em uma forma integrável:
- Reescrevendo
em diferencial total: Aqui usei e dividi por . - Integro de
(condição inicial ) até tempo arbitrário (durante a queima, ): - As integrais são elementares:
e . Portanto
Passo 4
Substituindo
e explicitando o tempo de término da queima:
- Durante a queima (
) a velocidade é - O tempo de queima é
. A velocidade no fim da queima (queimador apaga) é
Passo 5
Agora obter a posição
(altitude) durante a queima, integrando
:
- Com
, - Para calcular a integral expondo os passos: faça a substituição
, então e quando tem , quando tem . Assim - A integral
pode ser feita escrevendo e usando . Fazendo as contas (detalhes omitidos por extenso mas elementares) obtemos - Portanto a posição durante a queima é
(Consistência: em a expressão dá .)
Passo 6
Posição e velocidade no instante de burnout
:
- Substituindo
e (denotarei para clareza) obtemos
Passo 7
Altura máxima: depois do burnout o foguete sobe livremente com velocidade inicial
e desaceleração
. A subida adicional após
até a altura máxima é
. Logo a altura máxima total
é
Substituindo
e
e simplificando (faço a simplificação completa no passo seguinte) dá-se a expressão final de
.
Passo 8
Simplificação explícita de
e dependência em
:
- Denote
- Escrevendo
e , substituindo em e agrupando termos obtemos, após cancelar os termos em , Observação importante: o termo é independente de ; toda dependência em está no segundo termo . - Agora avaliamos o sinal do coeficiente dentro do parêntese:
porque para vale (a desigualdade clássica aplicada adequadamente). Portanto - Derivando
em função de (para ) obtemos Assim é estritamente crescente em .
Passo 9
Conclusão física e matemática (síntese):
- Resultado: para
fixos, cresce quando aumenta; portanto a maior taxa de exaustão (ou seja, o consumo mais rápido do combustível) dá a maior altura máxima. - Intuição curta: queimando mais rápido você gera o impulso necessário mais cedo, gastando menos tempo contra a gravidade durante a queima; matematicamente isso aparece porque o termo dependente de
é negativo e decresce em magnitude quando aumenta, tornando maior.
Resposta
(a) Durante a queima (
, com
e
):
No fim da queima (
, com
e
):
A altura máxima total é
(b) Como
, tem
. Logo
é crescente em
: para
fixos, quanto maior
(queima mais rápida) maior a altura máxima.