9.18 In seawater ( \sigma=4 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, \varepsilon=81 \varepsilon_{\mathrm{o}}, \mu=\mu_{\mathrm{o}} ), find the ratio of the conduction to the displacement currents at 10 MHz .

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a razão entre a corrente de condução e a corrente de deslocamento em água do mar à frequência de 10\\ \mathrm{MHz}.
Dados fornecidos pelo enunciado:
\sigma=4\\ \mathrm{S}/\mathrm{m},
\varepsilon=81\varepsilon_{0},
\mu=\mu_{0} (não será necessária aqui),
f=10\\ \mathrm{MHz}=10\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}.
O que queremos encontrar explicitamente: a grandeza adimensional
\frac{|\mathbf{J}_{\text{cond}}|}{|\mathbf{J}_{\text{disp}}|}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho, sem pressa):
  • A densidade de corrente de condução (corrente ôhmica) é dada por
\mathbf{J}_{\text{cond}}=\sigma\mathbf{E},
onde \sigma é a condutividade (em \mathrm{S}/\mathrm{m}) e \mathbf{E} é o campo elétrico (em \mathrm{V}/\mathrm{m}). Isso diz: corrente de condução é proporcional ao campo elétrico, proporcionalidade dada por \sigma.
  • A densidade de corrente de deslocamento (no domínio da frequência) é dada por
\mathbf{J}_{\text{disp}}=j\omega\varepsilon\mathbf{E},
onde j é a unidade imaginária, \omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s}), \varepsilon é a permissividade do meio (em \mathrm{F}/\mathrm{m}), e \mathbf{E} é o mesmo campo elétrico. A parte prática é que o módulo dessa densidade é |\mathbf{J}_{\text{disp}}|=\omega\varepsilon|\mathbf{E}|.
Então, fisicamente: uma parte da “corrente” num meio pode vir dos portadores (condução) e outra parte vem da variação do campo elétrico (deslocamento). Queremos comparar qual domina numericamente.

Passo 3

Derivação da fórmula da razão (simples e útil para decorar):
\frac{|\mathbf{J}_{\text{cond}}|}{|\mathbf{J}_{\text{disp}}|}=\frac{\sigma|\mathbf{E}|}{\omega\varepsilon|\mathbf{E}|}=\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}.
Repare que o campo \mathbf{E} cancela, então a razão depende só de \sigma, \omega e \varepsilon. Esta é a fórmula que vamos avaliar numericamente.

Passo 4

Valores numéricos e constantes:
  • Constante elétrica do vácuo:
\varepsilon_{0}=8,854\times10^{-12}\\ \mathrm{F}/\mathrm{m}.
  • Permissividade do meio:
\varepsilon=81\varepsilon_{0}=81\cdot8,854\times10^{-12}\\ \mathrm{F}/\mathrm{m}.
Calculemos \varepsilon:
81\cdot8,854\times10^{-12}=717,174\times10^{-12}=7,17174\times10^{-10}\\ \mathrm{F}/\mathrm{m}.

Passo 5

Frequência angular \omega:
\omega=2\pi f=2\pi\cdot10\times10^{6}=2\pi\times10^{7}\\ \mathrm{rad/s}.
Estimando numericamente:
\omega\approx6,2831853\times10^{7}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Agora calculamos o produto \omega\varepsilon (unidade: \mathrm{S}/\mathrm{m}, porque \mathrm{rad} é adimensional e \mathrm{F}\cdot\mathrm{rad/s}=\mathrm{S}):
\omega\varepsilon \approx (6,2831853\times10^{7})\cdot(7,17174\times10^{-10}).
Agrupando as potências de dez:
\omega\varepsilon \approx (6,2831853\cdot7,17174)\times10^{7-10}=(6,2831853\cdot7,17174)\times10^{-3}.
Calculando o produto entre os coeficientes (aproximação suficiente para prova):
6,2831853\cdot7,17174\approx45,06037,
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\omega\varepsilon\approx45,06037\times10^{-3}=0,04506037\\ \mathrm{S}/\mathrm{m}.

Passo 7

Finalmente a razão pedida:
\frac{|\mathbf{J}_{\text{cond}}|}{|\mathbf{J}_{\text{disp}}|} =\frac{\sigma}{\omega\varepsilon} =\frac{4}{0,04506037}\approx88,75.
Interpretação rápida: o valor é bem maior que 1, ou seja, em água do mar a 10\\ \mathrm{MHz} a corrente de condução domina a corrente de deslocamento por um fator da ordem de 10^{2}. Em palavras: a condução é muito mais importante que o deslocamento nessa situação.

Resposta

\displaystyle \approx 8,875\times10^{1}

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