Problema 10.2 Um campo elétrico de magnitude
é criado em um fio de 300 mm de comprimento e raio de
. A densidade numérica dos portadores de carga no fio é
portadores de carga
. Quanta energia é ganha pela rede de íons metálicos no intervalo de tempo que o elétron médio leva para percorrer o comprimento do fio?
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pergunta o que segue.
Dados:
Pergunta:
Quanta energia é ganha pela rede de íons metálicos (ou seja, é convertida em calor na malha iônica) durante o intervalo de tempo igual ao tempo médio que um elétron leva para percorrer o comprimento do fio?
Quanta energia é ganha pela rede de íons metálicos (ou seja, é convertida em calor na malha iônica) durante o intervalo de tempo igual ao tempo médio que um elétron leva para percorrer o comprimento
Passo 2
Ideia física e escolhas de método (sem ainda calcular): a energia transferida à rede iônica no intervalo de tempo pedido é a energia total que o campo elétrico entrega aos portadores de carga dentro do fio nesse intervalo. Uma forma direta de calcular isso é usar a potência dissipada no fio
e multiplicar pelo tempo
pedido:
Aqui
pode ser obtida por densidade de corrente
e campo
como
por unidade de volume; para todo o fio
, onde
é a área da secção e
o comprimento. O tempo
pedido é o tempo médio de viagem de um elétron ao longo do fio, que é
, onde
é a velocidade de deriva média. Observação importante:
aparece em
e em
e vai se cancelar, então não precisamos conhecer
. Isso simplifica muito o cálculo e evita depender de mobilidade ou resistência.
Passo 3
Derivação matemática e explicação das variáveis:
Definimos:
Definimos:
Energia entregue à rede em tempo
:
Como
cancela, obtemos
Outra forma de ver isso (mais intuitiva): o número total de portadores no fio é
. Cada portador, ao se deslocar uma distância
no campo
, recebe (em módulo) do campo a energia
Logo a energia total recebida pela rede é
mesma expressão anterior. Isso faz sentido físico: muitos portadores cada um recebendo uma pequena energia durante a travessia somam a energia dissipada.
Passo 4
Calcular a área da secção
:
Usando
,
Passo 5
Calcular o número total de portadores no fio:
Primeiro calcule
:
Agora
Passo 6
Calcular a energia que o campo entrega a cada portador ao atravessar o fio:
use (carga elementar) e a diferença de potencial entre as extremidades
.
use
Energia por portador:
Passo 7
Energia total transferida à rede no tempo pedido:
Arredondando para três algarismos significativos (compatível com os dados),