Problema 10.2 Um campo elétrico de magnitude 4,50 \times 10^{2} \mathrm{~V} / \mathrm{m} é criado em um fio de 300 mm de comprimento e raio de 1,00 \mathrm{~mm}. A densidade numérica dos portadores de carga no fio é 1,20 \times 10^{27} portadores de carga / \mathrm{m}^{3}. Quanta energia é ganha pela rede de íons metálicos no intervalo de tempo que o elétron médio leva para percorrer o comprimento do fio?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pergunta o que segue.
Dados:
E=4,50\times10^{2}\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}
L=300\\ \mathrm{mm}=0,300\\ \mathrm{m}
r=1,00\\ \mathrm{mm}=1,00\times10^{-3}\\ \mathrm{m}
n=1,20\times10^{27}\\ \text{portadores}/\mathrm{m}^{3}
Pergunta:
Quanta energia é ganha pela rede de íons metálicos (ou seja, é convertida em calor na malha iônica) durante o intervalo de tempo igual ao tempo médio que um elétron leva para percorrer o comprimento L do fio?

Passo 2

Ideia física e escolhas de método (sem ainda calcular): a energia transferida à rede iônica no intervalo de tempo pedido é a energia total que o campo elétrico entrega aos portadores de carga dentro do fio nesse intervalo. Uma forma direta de calcular isso é usar a potência dissipada no fio P e multiplicar pelo tempo t pedido:
U = P\,t.
Aqui P pode ser obtida por densidade de corrente J e campo E como P=J E por unidade de volume; para todo o fio P=J E A L, onde A é a área da secção e L o comprimento. O tempo t pedido é o tempo médio de viagem de um elétron ao longo do fio, que é t=L/v_d, onde v_d é a velocidade de deriva média. Observação importante: v_d aparece em J=n e v_d e em t=L/v_d e vai se cancelar, então não precisamos conhecer v_d. Isso simplifica muito o cálculo e evita depender de mobilidade ou resistência.

Passo 3

Derivação matemática e explicação das variáveis:
Definimos:
A=\text{área da secção}= \pi r^2,áçã
J=\text{densidade de corrente}=n e v_d,
P=\text{potência dissipada no fio}=J E A L,ê
t=\text{tempo médio de travessia}= \frac{L}{v_d}.é
Energia entregue à rede em tempo t:
U = P\,t = \bigl(n e v_d E A L\bigr)\cdot\frac{L}{v_d}.
Como v_d cancela, obtemos
U = n e E A L^2.
Outra forma de ver isso (mais intuitiva): o número total de portadores no fio é N=n A L. Cada portador, ao se deslocar uma distância L no campo E, recebe (em módulo) do campo a energia
\Delta \varepsilon = e E L.
Logo a energia total recebida pela rede é
U = N\cdot \Delta \varepsilon = (n A L)\,(e E L)=n e E A L^2,
mesma expressão anterior. Isso faz sentido físico: muitos portadores cada um recebendo uma pequena energia durante a travessia somam a energia dissipada.

Passo 4

Calcular a área da secção A:
A=\pi r^2=\pi\,(1,00\times10^{-3}\\ \mathrm{m})^2=\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.
Usando \pi\approx3,14159,
A\approx3,14159\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 5

Calcular o número total de portadores no fio:
N=n A L = \bigl(1,20\times10^{27}\bigr)\bigl(3,14159\times10^{-6}\bigr)(0,300).
Primeiro calcule A L:
A L = 3,14159\times10^{-6}\times0,300 = 9,42477\times10^{-7}.
Agora
N = 1,20\times10^{27}\times9,42477\times10^{-7} \approx 1,13097\times10^{21}.

Passo 6

Calcular a energia que o campo entrega a cada portador ao atravessar o fio:
use e=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C} (carga elementar) e a diferença de potencial entre as extremidades V=E L.
V = E L = \bigl(4,50\times10^{2}\bigr)(0,300)=135\\ \mathrm{V}.
Energia por portador:
\Delta \varepsilon = e V = (1,602\times10^{-19})(135) \approx 2,16294\times10^{-17}\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Energia total transferida à rede no tempo pedido:
U = N\cdot\Delta \varepsilon \approx (1,13097\times10^{21})(2,16294\times10^{-17}) \approx 2,44615\times10^{4}\\ \mathrm{J}.
Arredondando para três algarismos significativos (compatível com os dados),
U \approx 2,45\times10^{4}\\ \mathrm{J}.

Resposta

2,45\times10^{4}\\ \mathrm{J}

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