Um foguete foi lançado de uma plataforma de lançamento e sua altura \boldsymbol{h}, em metros, \boldsymbol{t} segundos após o seu lançamento é dada pela função h(t)=-t^{2}+20 t+300. Esse foguete deve atingir um alvo que se encontra ao nível do solo ( \mathrm{h}=0 ).
a) De que altura o foguete foi lançado?
b) Qual a altura do foguete 10 segundos após o lançamento?
c) Após quantos segundos o foguete atingirá o alvo?

Passo 1

O enunciado dá a altura do foguete em função do tempo por
h(t) = -t^{2} + 20\,t + 300,
onde t está em segundos e h em metros. Precisamos:
– (a) calcular a altura inicial h(0);
– (b) avaliar h(10);
– (c) resolver a equação h(t)=0 para encontrar quando o foguete retorna ao solo.

Passo 2

Para a altura inicial, basta avaliar em t=0:
h(0) = -0^{2} + 20\cdot0 + 300 = 300.

Passo 3

Para a altura em t=10 segundos, substituímos t=10 em h(t):
h(10) = -(10)^{2} + 20\cdot10 + 300 = -100 + 200 + 300 = 400.

Passo 4

Para saber quando h(t)=0, resolvemos
-t^{2} + 20\,t + 300 = 0.
Aqui a=-1, b=20, c=300. O discriminante é
\Delta = b^{2} - 4ac = 20^{2} - 4\cdot(-1)\cdot300 = 400 + 1200 = 1600.
Logo
t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-20 \pm 40}{2\cdot(-1)}.
Isto dá duas raízes:
t_{1} = \frac{-20 + 40}{-2} = \frac{20}{-2} = -10\quad(\text{descartamos}),
t_{2} = \frac{-20 - 40}{-2} = \frac{-60}{-2} = 30.
Assim, o foguete atinge o solo em t=30 segundos.

Resposta

a) 300 metros
b) 400 metros
c) 30 segundos

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