Um foguete é lancado verticalmente e sobe com acel. Vertical constante de
durante 30 s . Seu combustível é inTeiramente consumido e ele continua viajando somente sob a açáo da gravidade.
a) Qual é a altitude máxima alcançada?
b) Qual é o Tempo Total decorrido desde o lancamento até que o foguete volte à Terra?
a) Qual é a altitude máxima alcançada?
b) Qual é o Tempo Total decorrido desde o lancamento até que o foguete volte à Terra?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo de forma clara):
- Aceleração vertical durante o empuxo:
. - Duração do empuxo:
. - Depois de
todo o combustível foi consumido e o foguete passa a mover-se só sob a ação da gravidade (queda livre vertical). - Vou assumir que o lançamento se deu do solo com velocidade inicial nula e posição inicial nula:
e . - Vou usar a gravidade padrão
.
O que o problema pede:
a) A altitude máxima alcançada pelo foguete.
b) O tempo total decorrido desde o lançamento até o retorno à Terra.
a) A altitude máxima alcançada pelo foguete.
b) O tempo total decorrido desde o lançamento até o retorno à Terra.
Passo 2
Calcular a velocidade do foguete no instante do término do empuxo (velocidade de esgotamento, chamo de
).
Fórmula usada: a equação do movimento com aceleração constante
Fórmula usada: a equação do movimento com aceleração constante
onde
é a velocidade no tempo
,
é a velocidade inicial,
é a aceleração constante e
é o intervalo de tempo considerado. Aqui
,
e
.
Substituindo:
Interpretação: ao término do empuxo o foguete está subindo a
.
Passo 3
Calcular a altitude atingida ao final do empuxo (posição no instante de burnout), chamo isso de
.
Fórmula usada: posição com aceleração constante
Fórmula usada: posição com aceleração constante
onde
é a posição no tempo
.
Substituindo
,
,
,
:
Calculemos passo a passo:
. Então
Passo 4
Encontrar o tempo que o foguete leva, a partir do burnout, para atingir a altura máxima (chamo de
).
Raciocínio: após o empuxo a única aceleração é a gravidade apontando para baixo ( ). No pico a velocidade é zero. Uso a equação da velocidade
Raciocínio: após o empuxo a única aceleração é a gravidade apontando para baixo (
e imponho
no pico. Assim
Substituindo
e
:
Interpretação: depois do burnout o foguete ainda sobe por cerca de
até parar momentaneamente.
Passo 5
Calcular a altura adicional que o foguete ganha depois do burnout até o pico (chamo de
).
Duas maneiras comuns: integrar velocidade ou usar a equação de energia cinética/posicional
Duas maneiras comuns: integrar velocidade ou usar a equação de energia cinética/posicional
pondo
no pico e isolando
:
Explicação das variáveis:
é a velocidade inicial dessa fase (no burnout),
é a aceleração devida à gravidade,
é o acréscimo de altura até o ponto onde
.
Substituindo
:
Passo 6
Calcular a altitude máxima total somando a altura no burnout com o acréscimo até o pico:
Interpretação: o foguete alcança
acima do solo (aproximadamente 29,7 km).
Passo 7
Calcular o tempo de queda do pico até a Terra (chamo de
).
Na queda o foguete parte do repouso vertical no topo ( ) e cai com aceleração
. A equação da posição relativa ao topo é
Na queda o foguete parte do repouso vertical no topo (
onde
é a distância a cair. Isolando
:
Substituindo
e
:
Interpretação: a queda leva cerca de
.
Passo 8
Calcular o tempo total desde o lançamento até o retorno ao solo:
Substituindo os valores numéricos:
Arredondando com razoável precisão (duas casas decimais):
, que é cerca de
minutos e
segundos. Você consegue — lembra: some o tempo de empuxo, o tempo até o pico (após o burnout) e a queda.