Um foguete é lancado verticalmente e sobe com acel. Vertical constante de 21 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} durante 30 s . Seu combustível é inTeiramente consumido e ele continua viajando somente sob a açáo da gravidade.
a) Qual é a altitude máxima alcançada?
b) Qual é o Tempo Total decorrido desde o lancamento até que o foguete volte à Terra?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo de forma clara):
  • Aceleração vertical durante o empuxo: a_1 = 21\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Duração do empuxo: t_1 = 30\\ \mathrm{s}.
  • Depois de t_1 todo o combustível foi consumido e o foguete passa a mover-se só sob a ação da gravidade (queda livre vertical).
  • Vou assumir que o lançamento se deu do solo com velocidade inicial nula e posição inicial nula: v_0=0 e y_0=0.
  • Vou usar a gravidade padrão g = 9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O que o problema pede:
a) A altitude máxima alcançada pelo foguete.
b) O tempo total decorrido desde o lançamento até o retorno à Terra.

Passo 2

Calcular a velocidade do foguete no instante do término do empuxo (velocidade de esgotamento, chamo de v_b).
Fórmula usada: a equação do movimento com aceleração constante
v = v_0 + a\,t,
onde v é a velocidade no tempo t, v_0 é a velocidade inicial, a é a aceleração constante e t é o intervalo de tempo considerado. Aqui v_0=0, a=a_1 e t=t_1.
Substituindo:
v_b = 0 + a_1 t_1 = 21 \cdot 30 = 630\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: ao término do empuxo o foguete está subindo a 630\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Calcular a altitude atingida ao final do empuxo (posição no instante de burnout), chamo isso de y_b.
Fórmula usada: posição com aceleração constante
y = y_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2,
onde y é a posição no tempo t.
Substituindo y_0=0, v_0=0, a=a_1, t=t_1:
y_b = 0 + 0 + \tfrac{1}{2}\,a_1 t_1^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 21 \cdot 30^2.
Calculemos passo a passo: 30^2 = 900. Então
y_b = \tfrac{1}{2}\cdot 21 \cdot 900 = 10{,}5 \cdot 900 = 9450\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Encontrar o tempo que o foguete leva, a partir do burnout, para atingir a altura máxima (chamo de t_2).
Raciocínio: após o empuxo a única aceleração é a gravidade apontando para baixo ( -g). No pico a velocidade é zero. Uso a equação da velocidade
v = v_b - g t_2,
e imponho v=0 no pico. Assim
0 = v_b - g t_2 \quad\Rightarrow\quad t_2 = \frac{v_b}{g}.
Substituindo v_b=630\\ \mathrm{m/s} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}:
t_2 = \frac{630}{9{,}8} \approx 64{,}285714\\ \mathrm{s}.
Interpretação: depois do burnout o foguete ainda sobe por cerca de 64{,}29\\ \mathrm{s} até parar momentaneamente.

Passo 5

Calcular a altura adicional que o foguete ganha depois do burnout até o pico (chamo de \Delta y).
Duas maneiras comuns: integrar velocidade ou usar a equação de energia cinética/posicional
v^2 = v_b^2 - 2 g \Delta y,
pondo v=0 no pico e isolando \Delta y:
\Delta y = \frac{v_b^2}{2g}.
Explicação das variáveis: v_b é a velocidade inicial dessa fase (no burnout), g é a aceleração devida à gravidade, \Delta y é o acréscimo de altura até o ponto onde v=0.
Substituindo v_b=630\\ \mathrm{m/s}:
\Delta y = \frac{630^2}{2\cdot 9{,}8} = \frac{396900}{19{,}6} = 20250\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular a altitude máxima total somando a altura no burnout com o acréscimo até o pico:
y_{\text{max}} = y_b + \Delta y = 9450 + 20250 = 29700\\ \mathrm{m}.
Interpretação: o foguete alcança 29{,}700\\ \mathrm{m} acima do solo (aproximadamente 29,7 km).

Passo 7

Calcular o tempo de queda do pico até a Terra (chamo de t_3).
Na queda o foguete parte do repouso vertical no topo ( v=0) e cai com aceleração g. A equação da posição relativa ao topo é
\Delta y = \tfrac{1}{2} g t_3^2,
onde \Delta y = y_{\text{max}} é a distância a cair. Isolando t_3:
t_3 = \sqrt{\frac{2 y_{\text{max}}}{g}}.
Substituindo y_{\text{max}}=29700\\ \mathrm{m} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}:
t_3 = \sqrt{\frac{2\cdot 29700}{9{,}8}} = \sqrt{\frac{59400}{9{,}8}} \approx 77{,}865\\ \mathrm{s}.
Interpretação: a queda leva cerca de 77{,}87\\ \mathrm{s}.

Passo 8

Calcular o tempo total desde o lançamento até o retorno ao solo:
T_{\text{total}} = t_1 + t_2 + t_3.
Substituindo os valores numéricos:
T_{\text{total}} = 30 + 64{,}285714 + 77{,}865 \approx 172{,}151\\ \mathrm{s}.
Arredondando com razoável precisão (duas casas decimais): T_{\text{total}} \approx 172{,}15\\ \mathrm{s}, que é cerca de 2 minutos e 52{,}15 segundos. Você consegue — lembra: some o tempo de empuxo, o tempo até o pico (após o burnout) e a queda.

Resposta

29\,700\\ \mathrm{m}
172{,}15\\ \mathrm{s}

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